中考冲刺：创新、开放与探究型问题(基础)(1)

中考冲刺：创新、开放与探究型问题(基础) 　　一、选择题 　　1．若自然数n使得三个数的加法运算“n+(n+1)+(n+2)”产生进位现象，则称n为“连加进位数”．例如：2不是“连加进位数”，因为2+3+4＝9不产生进位现象；
4是“连加进位数”，因为4+5+6＝15产生进位现象；
51是“连加进位数”，因为51+52+63＝156产生进位现象．如果从0，1，2，…，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是(　　) 　　A．0.88　　　B．0.89　　　 C．0.90　　 D．0.91 　　2．如图，点A，B，P在⊙O上，且∠APB＝50°，若点M是⊙O上的动点，要使△ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点M有( 　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个 　　3．（2016秋•永定区期中）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，…，则第⑧个图形中棋子的颗数为（　　） 　　　　　　　　　　　　　 　　A．226　 　 B．181　 　 C．141　 　 D．106 　　二、填空题 　　4．（2015秋•淮安校级期中）电子跳蚤游戏盘为△ABC，AB=8，AC=9，BC=10，如果电子跳蚤开始时在BC边上的P0点，BP0=4．第一步跳蚤跳到AC边上P1点，且CP1=CP0；
第二步跳蚤从P1跳到AB边上P2点，且AP2=AP1；
第三步跳蚤从P2 跳回到BC边上P3点，且BP3=BP2；
…跳蚤按上述规则跳下去，第2015次落点为P2016，则P3与P2016之间的距离为______． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　5．下图为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D，请你按图中箭头所指方向(如A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式)从A开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是________；
当字母C第201次出现时，恰好数到的数是________；
当字母C第2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是________(用含n的代数式表示)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　6. (1)如图(a)，∠ABC＝∠DCB，请补充一个条件：________，使△ABC≌△DCB． 　　(2)如图(b)，∠1＝∠2，请补充一个条件：________，使△ABC≌△ADE． 　　　　　　　　　　　　　　 　　三、解答题 　　7．如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上一个动点(点E不与B，C两点重合)，EF∥BD交AC于点F，EG∥AC交BD于点G． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　(1)求证：四边形EFOG的周长等于2OB；

　　(2)请你将上述题目的条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论“四边形EFOG的周长等于2OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证，不必证明． 　　8．如图所示，平面直角坐标系内有两条直线，，直线的解析式为．如果将坐标纸折叠，使直线与重合，此时点(-2，0)与点(0，2)也重合． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　(1)求直线的解析式；

　　(2)设直线与相交于点M．问：是否存在这样的直线，使得如果将坐标纸沿直线折叠，点M恰好落在x轴上？若存在，求出直线的解析式；
若不存在，请说明理由． 　　9．（2015•黄陂区校级模拟）正方形ABCD中，将一个直角三角板的直角顶点与点A重合，一条直角边与边BC交于点E（点E不与点B和点C重合），另一条直角边与边CD的延长线交于点F． 　　（1）如图①，求证：AE=AF；

　　（2）如图②，此直角三角板有一个角是45°，它的斜边MN与边CD交于G，且点G是斜边MN的中点，连接EG，求证：EG=BE+DG；

　　（3）在（2）的条件下，如果=，那么点G是否一定是边CD的中点？请说明你的理由． 　　　　　　　　　 　　10. （2016•天门）如图①，半圆O的直径AB=6，AM和BN是它的两条切线，CP与半圆O相切于点P，并于AM，BN分别相交于C，D两点． 　　（1）请直接写出∠COD的度数；

　　（2）求AC•BD的值；

　　（3）如图②，连接OP并延长交AM于点Q，连接DQ，试判断△PQD能否与△ACO相似？若能相似，请求AC：BD的值；
若不能相似，请说明理由． 　　　　　　　　　　　　　 答案与解析 【答案与解析】　　一、选择题 　　1.【答案】A；

　　　【解析】 　　　不是“连加进位数”的有“0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32”共有12个． 　　　∴P(取到“连加进位数”)＝． 　　2.【答案】D；

　　　【解析】如图，①过圆点O作AB的垂线交和于M1，M2． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　②以B为圆心AB为半径作弧交圆O于M3． 　　　　　　　③以A为圆心，AB为半径弧作弧交圆O于M4． 　　　　　　　则M1，M2，M3，M4都满足要求． 　　3.【答案】C；

　　　【解析】设第n个图形中棋子的颗数为an（n为正整数）， 　　　　　　　观察，发现规律：a1=1，a2=1+3+2=6，a3=1+3+5+4+3=16，…， 　　　　　　　∴an=1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n﹣2）+…+n=n2+=n2﹣n+1， 　　　　　　　当n=8时，a8=×82﹣×8+1=141． 　　二、填空题 　　4.【答案】1． 　　　【解析】 　　　∵BC=10，BP0=4，知CP0=6， 　　　∴CP1=6． 　　　∵AC=9， 　　　∴AP2=AP1=3． 　　　∵AB=8， 　　　∴BP3=BP2=5． 　　　∴CP4=CP3=5， 　　　∴AP4=4． 　　　∴AP5=AP4=4， 　　　∴BP5=4． 　　　∴BP6=BP5=4． 　　　此时P6与P0重合，即经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点． 　　　2016÷6=336，即P2016与P0重合， 　　　∴P3与P2016之间的距离为P3P0=1．故答案为：1． 　　5.【答案】B；
　 603；
　 6n+3． 　　　【解析】 　　　由题意知A→B→C→D→C→B→A→B→C→D→C→B→A→B…，每隔6个数重复一次“A→B→C→D→C→B→”， 　　　所以，当数到12时对应的字母是B；
当字母C第201次出现时，恰好数到的数是201×3＝603；
当字母C第2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是(2n+1)×3＝6n+3． 　　6.【答案】答案不唯一．(1)如图(a)中∠A＝∠D，或AB＝DC；
(2)图(b)中∠D＝∠B，或等． 　　　　　　　　　　　　  　　三、解答题 　　7.【答案与解析】 　　(1)证明：∵四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AB＝CD， 　　　　　　 ∴∠ABC＝∠DCB． 　　　　　　 又∵BC＝CB，AB＝DC， 　　　　　　 ∴△ABC≌△DCB． 　　　　　　 ∴∠1＝∠2． 　　　　　　 又∵ GE∥AC，∴∠2＝∠3． 　　　　　　 ∴∠1＝∠3． 　　　　　　 ∴EG＝BG． 　　　　　　 ∵EG∥OC，EF∥OB， 　　　　　　 ∴四边形EGOF是平行四边形． 　　　　　　 ∴EG＝OF，EF＝OG． 　　　　　　 ∴四边形EGOF的周长＝2(OG+GE)＝2(OG+GB)＝2OB． 　　 　　　　　　　　 　　(2)方法1：如图乙，已知矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为BC上一个动点(点E不与B，C两点重合)， 　　 　EF∥BD，交AC于点F，EG∥AC交BD于点G． 　　　 求证：四边形EFOG的周长等于2OB．图略． 　　　 方法2：如图丙，已知正方形ABCD中，……其余略． 　　8. 【答案与解析】　 　　解：(1)直线与y轴交点的坐标为(0，1)． 　　 　由题意，直线与关于直线对称，直线与x轴交点的坐标为(-1，0)． 　　 　又∵直线与直线的交点为(-3，3)， 　　 　∴直线过点(-1，0)和(3，3)． 　　 　设直线的解析式为y＝kx+b．则有 　　 　　解得 　　 　所求直线的解析式为． 　　(2)∵直线与直线互相垂直，且点M(-3，3)在直线上， 　　 　∴如果将坐标纸沿直线折叠，要使点M落在x轴上，那么点M必须与坐标原点O重合，此时直线过线段OM的 　　 　中点． 　　 　将，代入y＝x+t，解得t＝3． 　　 　∴直线l的解析式为y＝x+3． 　　9．【答案与解析】 　　解：（1）如图①，∵四边形ABCD是正方形， 　　　　　　 ∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90°，AB=AD． 　　　　　　 ∵∠EAF=90°， 　　　　　　 ∴∠EAF=∠BAD， 　　　　　　 ∴∠EAF﹣∠EAD=∠BAD﹣∠EAD， 　　　　　　 ∴∠BAE=∠DAF． 　　　　　　 在△ABE和△ADF中 　　　　　　 ， 　　　　　　 ∴△ABE≌△ADF（ASA） 　　　　　　 ∴AE=AF；

　　　　（2）如图②，连接AG， 　　　　　　 ∵∠MAN=90°，∠M=45°， 　　　　　　 ∴∠N=∠M=45°， 　　　　　 　∴AM=AN． 　　　　　　 ∵点G是斜边MN的中点， 　　　　　　 ∴∠EAG=∠NAG=45°． 　　　　　　 ∴∠EAB+∠DAG=45°． 　　　　　　 ∵△ABE≌△ADF， 　　　　　 　∴∠BAE=∠DAF，AE=AF， 　　　　　 　∴∠DAF+∠DAG=45°， 　　　　　 　即∠GAF=45°， 　　　　　 　∴∠EAG=∠FAG． 　　　　　　 在△AGE和AGF中， 　　　　　 　， 　　　　　 　∴△AGE≌AGF（SAS）， 　　　　　 　∴EG=GF． 　　　　　 　∵GF=GD+DF， 　　　　　 　∴GF=GD+BE， 　　　　　　 ∴EG=BE+DG；

　　　　（3）G不一定是边CD的中点． 　　　　　 　理由：设AB=6k，GF=5k，BE=x， 　　　　　 　∴CE=6k﹣x，EG=5k，CF=CD+DF=6k+x， 　　　　　 　∴CG=CF﹣GF=k+x， 　　　　 　　在Rt△ECG中，由勾股定理，得 　　　　　　 （6k﹣x）2+（k+x）2=（5k）2， 　　　　　 　解得：x1=2k，x2=3k， 　　　　　 　∴CG=4k或3k． 　　　　　 　∴点G不一定是边CD的中点． 　　10.【答案与解析】 　　解：（1）∠COD=90°． 　　　　　　 理由：如图①中，∵AB是直径，AM、BN是切线， 　　　　　　 ∴AM⊥AB，BN⊥AB， 　　　　　　 ∴AM∥BN， 　　　　　　 ∵CA、CP是切线， 　　　　　　 ∴∠ACO=∠OCP，同理∠ODP=∠ODB， 　　　　　　 ∵∠ACD+∠BDC=180°， 　　　　　　 ∴2∠OCD+2∠ODC=180°， 　　　　　　 ∴∠OCD+∠ODC=90°， 　　　　　　 ∴∠COD=90°． 　　　　（2）如图①中，∵AB是直径，AM、BN是切线， 　　　　　　 ∴∠A=∠B=90°， 　　　　　　 ∴∠ACO+∠AOC=90°， 　　　　　　 ∵∠COD=90°， 　　　　　　 ∴∠BOD+∠AOC=90°， 　　　　　　 ∴∠ACO=∠BOD， 　　　　　　 ∴RT△AOC∽RT△BDO， 　　　　　　 ∴=， 　　　　　　 即AC•BD=AO•BO， 　　　　　　 ∵AB=6， 　　　　　　 ∴AO=BO=3， 　　　　　　 ∴AC•BD=9． 　　　　（3）△PQD能与△ACQ相似． 　　　　　　 ∵CA、CP是⊙O切线， 　　　　　　 ∴AC=CP，∠1=∠2， 　　　　　　 ∵DB、DP是⊙O切线， 　　　　　　 ∴DB=DP，∠B=∠OPD=90°，OD=OD， 　　　　　　 ∴RT△ODB≌RT△ODP， 　　　　　　 ∴∠3=∠4， 　　　　　 　①如图②中，当△PQD∽△ACO时，∠5=∠1， 　　　　　　 ∵∠ACO=∠BOD，即∠1=∠3， 　　　　　　 ∴∠5=∠4， 　　　　　　 ∴DQ=DO， 　　　　　　 ∴∠PDO=∠PDQ， 　　　　　　 ∴△DCQ≌△DCO， 　　　　　　 ∴∠DCQ=∠2， 　　　　　　 ∵∠1+∠2+∠DCQ=180°， 　　　　　　 ∴∠1=60°=∠3， 　　　　　　 在RT△ACO，RT△BDO中，分别求得AC=，BD=3， 　　　　　　 ∴AC：BD=1：3． 　　　　　　 ②如图②中，当△PQD∽△AOC时，∠6=∠1， 　　　　　　 ∵∠2=∠1， 　　　　　　 ∴∠6=∠2， 　　　　　　 ∴CO∥QD， 　　　　　　 ∴∠1=∠CQD， 　　　　　　 ∴∠6=∠CQD， 　　　　　　 ∴CQ=CD， 　　　　　　 ∵S△CDQ=•CD•PQ=•CQ•AB， 　　　　　　 ∴PQ=AB=6， 　　　　　　 ∵CO∥QD， 　　　　　　 ∴=，即=， 　　　　　　 ∴AC：BD=1：2．

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