涂喜梅 周少波 张金鹏 刘勇
摘 要：倾斜转弯（BTT）导弹通道间存在的控制耦合作用使得常规的双平面解耦制导律设计方法难以满足制导律设计要求。本文针对BTT导弹的三维耦合制导律设计问题，将李群理论引入到制导律设计中，将导弹速度向量中的旋转角速度用弹目视线俯仰角速度和弹目视线方位角速度来表示，同时考虑导弹制导过程中转弯尽量小以节省能量，给出一种考虑耦合项的最优三维制导律算法。通过仿真实验验证了算法的有效性。
关键词：空空导弹;李群理论;最优制导;三维耦合制导
中图分类号：TJ765
文献标识码：A
文章编号：1673-5048（2020）06-0055-06
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0 引 言
导弹控制方式包括倾斜转弯（Bank to Turn，BTT）和侧滑转弯（Skid to Turn，STT）两种方式。倾斜转弯控制方式是实现协调转弯的一种控制方式，制导弹在转弯过程中，始终保持侧滑角为零。由于BTT导弹在转弯中通过弹体滚转，将最大的升力面转动到制导所要求的方向上，相比于STT导弹在机动性、稳定性、升阻比等方面具有明显优势，且越来越受到重视[1-2]。文献[3]基于BTT导弹的运动学和动力学特性，建立了倾斜转弯导弹的弹体模型，根据弹体耦合特点进行了解耦分析。文献[4]对BTT导弹建模、自动驾驶仪设计与仿真方法进行了详细论述。文献[5]针对BTT导弹的姿态控制提出了基于干扰估计的鲁棒方差控制方法。文献[6]针对机动目标提出了一种基于有限时间反馈控制方法的三维空间制导律。文献[7]针对带有一定机动能力的飞行目标，结合弹目运动关系与导弹自身的动力学特性，给出了BTT导弹的俯仰、滚转、偏航三通道独立制导控制一体化设计。文献[8]针对BTT导弹制导过程中的通道耦合问题，用旋量描述方法构建了弹目视线方位模型，采用矢量描述方法构建弹目视线角速度模型，设计了一种考虑制导参数优化的新型三维非线性制导律。传统的三维制导律是将导弹的制导系统分解成横向平面和俯仰平面分别进行设计，由于忽略耦合作用而造成信息损失，或采用基于球坐标系的制导律设计方法，这种方法虽然可以考虑通道耦合作用，但是难以实现末端速度约束制导[2]。
李群理论的提出，给BTT导弹制导律设计提供了新的思路。文献[9]针对BTT导弹，考虑通道耦合影响，采用李群理论，设计了BTT三维制导律。文献[10]采用李群理论，在不进行通道解耦的条件下提出了一种新型三维制导律。文献[11]基于微分几何和李群理论，提出了一种三维BTT导弹制导律。这些研究给BTT耦合制导律的研究奠定了很好的基础。
本文在此基础上，进一步从最优制导的角度，提出了一种针对BTT导弹的最优三维耦合制导算法，避免双平面解耦制导律设计方法带来的问题，同时优化制导过程中导弹轨迹，减小转弯量以节省导弹能量消耗，实现高精度制导。
1 弹目相对运动的数学描述
假设导弹M的速度矢量为v，弹目视线距离为R，目标T固定于坐标系的原点o。以导弹三自由度运动学模型为基础，以导弹质心和目标质心为基准，导弹在三维空间上的运动可以解耦成如图1所示的俯冲和转弯两个平面上的运动[9]。
图中，首先定义单位矢量s1～s5。其中，s1与转弯平面垂直，s2与俯冲平面垂直，s1～s5指向如图1所示。q是x轴方向与弹目视线方向夹角;qd是弹目视线高低角，即s4和s5之间的夹角;qt为弹目视线方位角，即s5和x轴之间的夹角;ηd为速度矢量在俯冲平面上的投影与转弯平面的夹角;ηt为速度矢量在转弯平面上的投影与俯冲平面的夹角;θd为速度矢量在俯冲平面内的方向角，即速度矢量在俯冲平面的投影与水平面xoz之间的夹角;θt为速度矢量在转弯平面内的方向角，即速度矢量在转弯平面内的投影与铅垂面xoy之间的夹角。
定义ω为弹目视线角速度：
ω=q·ds2+q·ts3（1）
式中：q·d为视线高低角速度;q·t为视线方位角速度。
由图1可知，s1，s3，s4，s5在同一平面，且其均s2垂直。此外，有s1⊥s4，s3⊥s5。因此可知，s2既在参考系os1s2s4内，又在参考系os3s2s5內，s3既在参考系os3s2s5内，也在参考系oxyz内。由参考系oxyz即oxs3z绕s3轴转动角度qt得到参考系os3s2s5，由参考系os3s2s5绕s2轴转动角度qd得到参考系os1s2s4，故弹目角速度可分解成视线高低角速度和视线方位角速度矢量和。因此，式（1）得证。
对式（1）两边分别求导，得
ω·=q¨ds2+q¨ts3+q·ds·2+q·ts·3（2）
式中：q¨ds2为导弹在俯冲平面内的加速度分量;q¨ts3为导弹在转弯平面内的加速度分量;q·ds·2+q·ts·3为通道解耦时候的耦合项，在以往制导律设计中，常常忽略该项。但在BTT导弹大滚转的情况下，该耦合项占有较大比重，因而在此不予忽略。
根据式（2），BTT导弹的三维耦合运动可以分别从俯仰平面、转弯平面和耦合项三个方面进行设计。
2 三维耦合制导律设计
2.1 纵向平面制导律设计
针对俯仰平面，假设θd>0，那么有如下等式成立：
ηd=qd-θd（3）
由图1可得
R·=-vcosηd（4）
Rq·d=vsinηd（5）
将式（5）两边分别对时间求导，得
R·q·d+Rq¨d=v·sinηd+vη·dcosηd（6）
将sinηd=Rq·dv和cosηd=-R·v代入式（6），得俯仰平面内弹目相对运动方程：
q¨d=v·v-2R·Rq·d+R·Rθ·d（7）
在弹目拦截过程中，通常假设v·/v≈0。定义Tg=-R/R·， R>0，则式（7）可写为
q¨d=2Tgq·d-1Tgθ·d（8）
假定导弹在命中目标时，视线高低角速度为零，即q·d（tf）=0，令x=q·d，u=θ·d，则可写成状态方程形式：
x·=Ax+Bu
其中：A=2/Tg; B=-1/Tg，且满足x（tf）=0。
导弹在命中目标之前，要求导弹的方向变化θ·d尽量小，因此选取性能函数如下：
J=xT（tf）Fx（tf） + 12∫Tg0θ·2ddt
作为一个二次型性能指标最优控制问题，可由Riccati方程求其最优解得
θ·*d = u* = -R-1BTpx（9）
其中：
R=1;p满足-p·=pA+ATp-pBR-1BTp，分别等式左右乘以p-1，得Riccati方程的逆表达形式：
-p-1p·p-1=Ap-1+p-1AT-BR-1BT（10）
由矩阵变换得知，p·-1=（p-1）′=-p-1p·p-1，又因为R=1，所以式（10）可转化为Riccati方程形式p·-1=Ap-1+p-1AT-BBT，即有
p·-1=4Tgp-1-1T2g（11）
由x（tf）=0，因此有F=∞，从而p（tf）=F=∞，最终有
p-1（tf）=0（12）
结合式（11）～（12）求解可得
p=3Tg（13）
将式（13）代入式（9）得
θ·d=-R-1BTpx=1Tg（3Tg）q·d=3q·d（14）
将式（14）代入式（8），得纵向平面的最优制导律：
q¨d=2Tgq·d-1Tgθ·d=2Tgq·d-1Tg3q·d=-1Tgq·d（15）
2.2 横向平面制导律设计
针对转弯平面，假设θt>0，有如下等式成立：
ηt=qt-θt
由图1可得
R·=-vcosηt（16）
Rq·t=vsinηt（17）
对式（17）两边分别对时间求导，可得
R·q·t+Rq¨t=v·sinηt+vη·tcosηt
将sinηt=Rq·tv和cosηt=-R·v代入式（17），可得转弯平面内弹目相对运动方程：
q¨t=v·v-2R·Rq·t+R·Rθ·t（18）
在实际飞行过程中，通常假设v·/v≈0，因Tg=-R/R·（R>0），则式（18）可表示为
q¨t=2Tgq·t-1Tgθ·t（19）
假定导弹在命中目标时，视线方位角速度为零，即q·t（tf）=0，令x=q·t，u=θ·t，则可写成状态方程形式：
x·=Ax+Bu
其中：A=2/T，B=-1/Tg，且满足x（tf）=0。
导弹在命中目标之前，要求导弹的方向变化角速度θ·t尽量小，因此选取性能函数如下：
J=xT（tf）Fx（tf） + 12∫Tg0θ·2tdt
作为一个二次型性能指标最优控制問题，此时由逆Riccati方程求其最优解，可得
θ·*t = u* = -R-1BTpx（20）
式中：
R=1，则p满足-p·=pA+ATp-pBR-1BTp。
同理于上述纵向平面的求解过程，得
p=3Tg（21）
将式（21）代入式 （20）得
θ·t=-R-1BTpx=1Tg（3Tg）q·t=3q·t（22）
将式（22）代入式（19），得纵向平面的最优制导律：
q¨t=2Tgq·t-1Tgθ·t=2Tgq·t-1Tg3q·t=-1Tgq·t（23）
2.3 横纵耦合项设计
通常情况下，以往的制导律之所以忽略耦合项描述，是因为耦合项在笛卡尔坐标系所表示的欧几里德空间中表示起来很复杂。因此引入李群理论，使其在SO（3）群中表述，相对简单一些。
给定一个单位矢量s0，存在一个三维旋转矩阵使得对于任意其他单位矢量sx，都存在如下关系：
sx=Rss0（24）
式中：
Rs是从s0到sx的旋转变换矩阵，且RsRTs=I。而Rs∈SO（3），由此可得，针对一个单位矢量，空间中的任意其他单位矢量都可由该矢量与SO（3）群中的三维旋转矩阵表示。
对式（24）求导，可得
s·x = R·ss0 = R·sR-1ssx = R·sRTssx
由上式可知：s·2=R·s2RTs2s2;s·3=R·s3RTs3s3。
如果2=（R·s2RTs2）∨，3=（R·s3RTs3）∨，则有
s·2=2×s2
s·3=3×s3 （25）
2.4 三维耦合制导律
将式（15）、式（23）和式（25）代入式（2），则有
ω·=-1Tgq·ds2-1Tgq·ts3+q·d（2×s2）+q·t（3×s3）（26）
简化式（26），可得视线角运动学方程为
ω·=2×s2-1Tgs2q·d+3×s3-1Tgs3q·t（27）
从式（27）可知，在该制导律中，导弹速度向量的旋转角速度与弹目视线高低角速度、弹目视线方位角速度成正比。
3 数值仿真示例
为验证所设计制导律的有效性，对不同过载下的目标进行导弹拦截仿真验证，参数设置如下。
导弹参数：导弹飞行速度vM=400 m/s，初始弹道倾角θ0=0°，初始弹道偏角ψc0=0°，初始位置坐标（xM，yM， zM）=（0，200，400）m。
目标参数：目标飞行速度vT=272 m/s，初始位置坐标（xT，yT，zT）=（7 000，0，500）m。
仿真1：目标做匀速直线运动nyt=0，nzt=0，仿真结果如图2～5所示。
仿真2：目标做机动运动nyt=2g，nzt=0g，仿真结果如图6～9所示。
仿真3：目标做机动运动nyt=2g，nzt=2g，仿真结果如图10～13所示。
从仿真结果可以看出，针对不同机动方式和机动大小的目标，利用本文所设计的制导律，在耦合控制方式下，导弹能够很好地拦截目标，且拦截过程比较平滑，整个制导过程中，制导指令的变化相对平稳，侧滑角度一直在零度左右波动，且收敛于一个非常小的角度。说明导弹整个飞行过程中，侧滑幅度不大，而相比之下，滚转角则有较大范围的波动，但最后依然收敛，说明导弹飞行过程中，滚转角度在不断调整以适应对目标的拦截姿态，满足倾斜转弯要求。因此，所设计的制导律具有良好的制导效果。
4 结 论
BTT导弹通道间的强耦合给BTT导弹的制导律设计提出了挑战。本文针对BTT导弹制导律设计，给出了一种考虑通道耦合条件下的最优三维耦合制导律。该制导律的设计利用李群理论将BTT导弹耦合项在李群空间中进行表达，克服了耦合项在笛卡尔坐标系中难以表达的缺点。在考虑满足最优性能指标以使导弹飞行轨迹尽量平稳并减少能量消耗的基础上，从俯仰平面、转弯平面和耦合项三个方面对制导律进行了设计，从而获得了针对BTT导弹的基于李群理论的三维耦合最优制导律。通过不同机动条件下的目标拦截仿真实验表明，所设计的制导律能够有效实现对机动目标拦截，具有良好的制导性能。
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Three-Dimensional Coupling Optimal Guidance
Law Based on Lie Group Theory
Tu Ximei1，Zhou Shaobo2，Zhang Jinpeng3，4，Liu Yong5*
（1. Shanghai Aircraft Design and Research Institute，Shanghai 201210，China;
2. School of Aerospace Engineering，Xiamen University，Xiamen 361000，China;
3. China Airborne Missile Academy，Luoyang 471009，China;
4. Aviation Key Laboratory of Science and Technology on Guided Weapons，Luoyang 471009，China;
5.The Fifth Electronics Research Institute of the Ministry of Industry and Information Technology，Guangzhou 510610，China）
Abstract：
Due to the existence of control coupling effect between channels for bank to turn （BTT） missile，the conventional two planar decoupling guidance law design approach is hard to satisfy the design requirement. In this paper，aiming at the three dimensional coupling guidance law design problem for BTT missile，Lie group theory is introduced into the coupling guidance design for air-to-air missile，where the rotational angular velocity of missile velocity vector can be expressed by the pitch angular velocity and the azimuth velocity of the line of sight between missile and target. At the meantime，considering to diminishing turning for missile during the guidance process to save energy，an optimal three-dimensional coupling guidance law is designed for BTT missile. Simulation results show that the presented guidance law is effective.
Key words：
air-to-air missile; Lie group theory; optimal guidance; three-dimensional coupling guidance law
收稿日期：2020-06-21
基金項目：航空科学基金项目（20160168001）
作者简介：涂喜梅（1973-），女，江西九江人，高级工程师，研究方向为飞行器设计。
通讯作者：刘勇（1975-），男，湖南衡阳人，高级工程师，研究方向为复杂系统建模与评价。
E-mail：
lieying9702317@sina.com
