刘晓玉 黄定江
摘要：在线投资组合是近年来计算金融领域热门的研究课题.目前已有的策略，对股票价格的预测效果并不十分理想，而对股价的准确预测对投资组合方式有重要的指导意义.考虑到股价的滞后性及其分布的复杂性，首次利用股价中的二阶信息，提出了DMAR（DMA（Doublemoving Average）Reversion）、DEAR（DEA（Double Exponential Average）Reversion）、GMR（GM Reversion）、DA-GMR（DA-GM Reversion）4种投资组合策略：分别通过二次移动平均法、二次指数滑动预测法、灰色预测法，对下一期的價格数据进行了预测、集成学习;将二次平滑预测和灰色预测的结果进行了优化，得到了下一期的预测价格;再利用被动攻击（Passive-Aggressive，PA）算法更新投资组合，最终得到了4种投资组合策略，并在真实的金融市场的数据集中验证了策略的有效性.结果表明，与已有的算法相比，在NYSE（O）、NYSE（N）、DJIA和MSCI这4个真实的金融市场的数据集上，所提出的4种投资组合策略都达到了较高的累计收益.
关键词：在线学习;投资组合选择;二次平滑预测
中图分类号：TP399
文献标志码：A
文章编号：1000-5641（2020）06-0115-14
0引言
投资组合（Portfolio）是指在不确定的金融市场情形下，投资者通过选择一系列的投资组合策略，达到整个交易期累计收益最大化的金融问题.解决该问题一般有两种模型：Markowitz的均值方差模型和Kelly的资本增长理论模型.相较于前者，Kelly的资本增长理论模型更多地关注多期序列化的投资组合选择问题.随着机器学习的迅猛发展，计算金融领域的学者也开始尝试利用在线学习理论解决投资组合选择问题.
在投资组合选择中，购买持有策略（Buy and Hold，BAH）和最佳股票策略（Best Stock，BS）是最常见的基准策略.1991年，Cover等建立了投资组合框架，并首次提出了带边信息的投资组合策略.基于Cover等的理论框架，学者们开始研究在线投资组合策略.Singer在1997年构建了可跟踪市场变化的贝叶斯在线投资组合策略.Helmbold等在1998年提出了指数梯度策略.Gaivoronski等在2000年构建了连续固定再平衡投资组合策略（Successive，Constant Rebalanced Portfolio，SCRP）和加权连续固定再平衡投资组合策略，并证明了SCRP策略是一种泛化投资组合策略，WSCRP策略是SCRP投资组合向量和上一期的投资组合向量的凸组合.Fagiuoli等在2007年提出了基于SCRP策略的带边信息的在线投资组合策略.Agarwal等在2006年提出了在线牛顿步算法（On the Newtonmetod，ONS）.金融学者们在后续的研究中发现金融市场中除了存在动量效应外，还存在着反转效应.考虑到反转现象，学者们开始探索基于反转效应的在线投资组合策略.Borodin等在2004年提出了反相关策略（Anticor），将增长快的股票权重转移到增长较慢的股票上，并且Anticor策略的表现优于泛化投资组合（Universal Portfolios，UP）和EG策略.2012年，李斌等利用被动攻击算法来探索金融市场中的反转现象，提出了被动主动均值反转策略;在2013年提出了置信加权均值反转策略（Confidence Weightedmean Reversion，CWMR），该策略同时利用投资组合的一阶和二阶信息来更新下一期的投资组合相量;又在2015年提出了在线移动平均反转策略，该策略通过简单移动平均预测下一期的相对价格，再利用被动攻击算法更新投资组合.黄定江等在2016年提出了鲁棒中位数反转策略，该策略考虑到估计量的鲁棒性，利用L1中位数预测下一期的相对价格;然而在真实的金融市场中，投资者必然需要考虑交易成本对累计收益的影响.因此，李斌等在2017年提出了交易成本优化框架，解决了目前现存的在线投资组合模型不考虑成本的弊端.除了上述策略外，还有一类策略是模式匹配策略，主要包括非参最近邻策略、非参核策略，以及相关驱动非参学习策略.
综上可以看出，若能更准确地估计下一期的相对价格，将容易找到更优的投资组合.大量的研究表明，金融市场股价不具有稳定的分布，有着较大的复杂性与未知性;不同时间窗口对当期的价格的影响不同，距离下一期越近的时间窗口的价格与下一期的价格相关性越大.近些年追踪低收益策略并未着重考虑以下两点：①数据集中存在一定的噪声数据，预测方法过于简单、单一;②股价数据分布的不确定性和复杂性.
针对上述问题，本文考虑结合二次平滑预测与灰色预测法来更好地预测下一期的价格，从而提出了更有效的投资组合策略.二次平滑预测能一定程度上解决一次简单平均不能用于有明显趋势变化的市场序列的问题，并可以通过调节平滑系数进一步调整相近时间窗口的权重值，从而可以更好地预测下一期的价格.当系统未知信息或不确定信息较多时，灰色预测是一种较好的预测方法，该模型不要求数据序列具有典型的分布，且对中短期的预测都有较好的效果，集成两种预测方法便能更好地解决上述两个问题.因此，本文首次结合时间序列预测中的二次滑动预测和用于预测不确定系统的灰色预测来预测下一期的相对价格数据，再通过PA算法更新下一期的投资组合，在4个真实的金融数据集上进行的大量实验，证实了本文策略的有效性.
2基于二次平滑一灰色预测的投资组合策略
本章分别通过二次移动平均法、二次指数滑动预测法、灰色预测法对下一期的价格数据进行预测、集成学习;将二次平滑预测和灰色预测的结果进行优化，得到下一期的预测价格后;再利用PA算法更新投资组合，最终得到4种投资组合策略.
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