专题：圆与相似(1) 1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H．点G在⊙O上，过点G作直线EF，交CD延长线于点E，交AB的延长线于点F．连接AG交CD于K，且KE＝GE． （1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC∥EF，，FB＝1，求⊙O的半径． 2．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF． （1）求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）试探究线段EF，OD，OP之间的等量关系，并加以证明；
（3）若BC＝6，tan∠F＝，求cos∠ACB的值和线段PE的长． 3．如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．连接OC交AE于点H。
（1）求证：GC⊥OC． （2）求证：AF=CF． （3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的长． 4．如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB． （1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长． 5．如图，⊙O的弦AB=8，直径CD⊥AB于M，OM ：MD =3 ：2， E是劣弧CB上一点，连结CE并延长交CE的延长线于点F． 求：（1）⊙O的半径；
（2）求CE·CF的值． 6．如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E． （1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长；
（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值． 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.0为BC边上一点，以0为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E，连接DE． （1）当BD=3时，求线段DE的长；
（2）过点E作半圆O的切线，当切线与AC边相交时，设交点为F．求证：△FAE是等腰三角形． 8.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆． （1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF；
（3）若CD=1，EH=3，求BF及AF长． 9.如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB，M是劣弧 上一点，过点M作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于N点． （1）求证：PM=PN；
（2）若BD=4，PA= AO，过点B作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长． 10.如图是一个量角器和一个含30°角的直角三角板放置在一起的示意图，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半圆O于点F，且BC=OE． （1）求证：DE∥CF；
（2）当OE=2时，若以O，B，F为顶点的三角形与△ABC相似，求OB的长；
（3）若OE=2，移动三角板ABC且使AB边始终与半圆O相切，直角顶点B在直径DE的延长线上移动，求出点B移动的最大距离． 11.如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF． （1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？ （3）在（2）的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长． 12.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE． （1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：BC2=CD•2OE；
（3）若cos∠BAD=，BE=6，求OE的长． 专题：圆与相似答案 1．（1）相切，理由见解析；
（2）4. （1）如图，连接OG． ∵OA＝OG，∴∠OGA＝∠OAG. ∵CD⊥AB，∴∠AKH＋∠OAG＝90°． ∵KE＝GE， ∴∠KGE＝∠GKE＝∠AKH. ∴∠KGE＋∠OGA＝∠AKH＋∠OAG＝90°. ∴∠OGE＝90°，即OG⊥EF. 又∵G在圆O上，∴EF与圆O相切． （2）∵AC∥EF， ∴∠F＝∠CAH， ∴Rt△AHC∽ Rt△FGO． ∴. ∵在Rt△OAH中，，设AH＝3t，则AC＝5t，CH＝4t． ∴. ∴. ∵FB＝1 ∴，解得：OG＝4． ∴圆O的半径为4 . 考点：1.等腰三角形的性质；
2.切线的判定；
3.相似三角形的判定与性质． 2．（1）证明见解析；
（2）EF2=4OD•OP，证明见解析；
（3），. 【解析】 试题解析：（1）如图，连接OB， ∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO=90°. ∵OA=OB，BA⊥PO于D，∴AD=BD，∠POA=∠POB. 又∵PO=PO，∴△PAO≌△PBO（SAS）. ∴∠PAO=∠PBO=90°. ∴直线PA为⊙O的切线. （2）EF2=4OD•OP，证明如下：
∵∠PAO=∠PDA=90°，∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°. ∴∠OAD=∠OPA. ∴△OAD∽△OPA. ∴，即OA2=OD•OP. 又∵EF=2OA，∴EF2=4OD•OP. （3）∵OA=OC，AD=BD，BC=6，∴OD=BC=3（三角形中位线定理）. 设AD=x， ∵tan∠F=，∴FD=2x，OA=OF=2x﹣3. 在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x﹣3）2=x2+32， 解得，x1=4，x2=0（不合题意，舍去）.∴AD=4，OA=2x﹣3=5. ∵AC是⊙O直径，∴∠ABC=90°. 又∵AC=2OA=10，BC=6，∴cos∠ACB=. ∵OA2=OD•OP，∴3（PE+5）=25.∴PE=. 3.试题解析：
（1）证明：如图，连结OC， ∵C是劣弧AE的中点， ∴OC⊥AE， ∵CG∥AE， ∴CG⊥OC， ∴CG是⊙O的切线；
（2）证明：连结AC、BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠2+∠BCD=90°， 而CD⊥AB， ∴∠B+∠BCD=90°， ∴∠B=∠2， ∵AC弧=CE弧， ∴∠1=∠B， ∴∠1=∠2， ∴AF=CF；
（3）解：在Rt△ADF中，∠DAF=30°，FA=FC=2， ∴DF=AF=1， ∴AD=DF=， ∵AF∥CG， ∴DA：AG=DF：CF，即：AG=1：2， ∴AG=． 4.（1）证明：连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠1+∠2=90°．∵AB=AC，∴∠1=∠CAB．∵∠CBF=∠CAB，∴∠1=∠CBF，∴∠CBF+∠2=90°，即∠ABF=90°，∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线． （2）过点C作CG⊥AB于 G．∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，∴sin∠1=，∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=5，∴BE=AB•sin∠1=，∵AB=AC，∠AEB=90°，∴BC=2BE=，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE==，∴sin∠2==，cos∠2==，在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，∴AG=3，∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF，∴，∴BF=． 考点：1．切线的判定与性质；
2．勾股定理；
3．圆周角定理；
4．相似三角形的判定与性质；
5．试题解析：（1）如图，连接AO， ∵OM : MD=3:2，∴可设OM=3 k，MD=2 k (k >0)，则OA=OD=5 k. 又∵弦AB=8，直径CD⊥AB于M，∴AM=4. 在Rt△OAM中，由勾股定理可得：k=1 ． ∴圆O的半径为5 ． （2）如图，连接AE， 由垂径定理可知：ÐAEC=ÐCAF， 又∵ÐACF=ÐACF，∴DACE∽DFCA. ∴，即AC2=CE×CF. 在Rt△ACM中，由勾股定理可得：AC2=AM2+CM2=16+64=80 ， ∴CE×CF=80. 6．解：（1）证明：连接CD， ∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°。
∴∠CAD+∠ADC=90°。
又∵∠PAC=∠PBA，∠ADC=∠PBA， ∴∠PAC=∠ADC。∴∠CAD+∠PAC=90°。
∴PA⊥OA。
又∵AD是⊙O的直径，∴PA是⊙O的切线。
（2）由（1）知，PA⊥AD， 又∵CF⊥AD，∴CF∥PA。∴∠GCA=∠PAC。
又∵∠PAC=∠PBA，∴∠GCA=∠PBA。
又∵∠CAG=∠BAC，∴△CAG∽△BAC。
∴，即AC2=AG•AB。
∵AG•AB=12，∴AC2=12。∴AC=。
（3）设AF=x， ∵AF：FD=1：2，∴FD=2x。∴AD=AF+FD=3x。
在Rt△ACD中，∵CF⊥AD，∴AC2=AF•AD，即3x2=12。
解得；
x=2。
∴AF=2，AD=6。∴⊙O半径为3。
在Rt△AFG中，∵AF=2，GF=1， ∴根据勾股定理得：。
由（2）知，AG•AB=12，∴。
连接BD， ∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°。
在Rt△ABD中，∵sin∠ADB=，AD=6，∴sin∠ADB=。
∵∠ACE=∠ACB=∠ADB，∴sin∠ACE=。
7.（1）解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4， ∴AB=5， ∵DB为直径， ∴∠DEB=∠C=90°， 又∵∠B=∠B， ∴△DBE∽△ABC， ∴DEAC=BDAB， 即DE3=35， ∴DE=；
（2）证法一：连接OE， ∵EF为半圆O的切线， ∴∠DEO+∠DEF=90°， ∴∠AEF=∠DEO， ∵△DBE∽△ABC， ∴∠A=∠EDB， 又∵∠EDO=∠DEO， ∴∠AEF=∠A， ∴△FAE是等腰三角形；
证法二：连接OE ∵EF为切线， ∴∠AEF+∠OEB=90°， ∵∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∵OE=OB， ∴∠OEB=∠B， ∴∠AEF=∠A， ∴△FAE是等腰三角形． 8.证明：（1）如图，连接OE． ∵BE⊥EF， ∴∠BEF=90°， ∴BF是圆O的直径． ∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE=∠OBE， ∵OB=OE， ∴∠OBE=∠OEB， ∴∠OEB=∠CBE， ∴OE∥BC， ∴∠AEO=∠C=90°， ∴AC是⊙O的切线；
（2）如图，连结DE． ∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H， ∴EC=EH． ∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°， ∴∠CDE=∠HFE． 在△CDE与△HFE中， ， ∴△CDE≌△HFE（AAS）， ∴CD=HF． （3）由（2）得CD=HF，又CD=1， ∴HF=1， 在Rt△HFE中，EF=32+12=10， ∵EF⊥BE， ∴∠BEF=90°， ∴∠EHF=∠BEF=90°， ∵∠EFH=∠BFE， ∴△EHF∽△BEF， ∴EFBF=HFEF，即10BF=， ∴BF=10， ∴OE=BF=5，OH=5-1=4， ∴Rt△OHE中，cos∠EOA=， ∴Rt△EOA中，cos∠EOA=OEOA=， ∴=， ∴OA=254， ∴AF=254-5=． 9.（1）证明：连接OM， ∵MP是圆的切线，∴OM⊥PM， ∴∠OMD+∠DMP=90°， ∵OA⊥OB， ∴∠OND+∠ODM=90°， ∵∠MNP=∠OND，∠ODM=∠OMD， ∴∠DMP=∠MNP， ∴PM=PN． （2）解：设BC交OM于E， ∵BD=4，OA=OB=BD=2， ∴PA=3， ∴PO=5；
∵BC∥MP，OM⊥MP， ∴OM⊥BC，∴BE=BC；
∵∠BOM+∠MOP=90°， 在直角三角形OMP中， ∠MPO+∠MOP=90°， ∴∠BOM=∠MPO；
∵∠BEO=∠OMP=90°， ∴△OMP∽△BEO， ∴OMOP=BEBO，即=BE2， 解得：BE=， ∴BC=． 10.（1）证明：连接OF， ∵AB切半圆O于点F，OF是半径， ∴∠OFB=90°， ∵∠ABC=90°， ∴∠OFB=∠ABC， ∴OF∥BC， ∵BC=OE，OE=OF， ∴BC=OF， ∴四边形OBCF是平行四边形， ∴DE∥CF；
（2）解：若△OBF∽△ACB， ∴OBOF=ACAB， ∴OB=， ∵∠A=30°，∠ABC=90°，BC=OE=2， ∴AC=4，AB=23． 又∵OF=OE=2， ∴OB=4脳223=；
若△BOF∽△ACB， ∴OBOF=ACBC， ∴OB=， ∴OB=4脳22=4；
综上，OB=或4；
（3）解：画出移动过程中的两个极值图， 由图知：点B移动的最大距离是线段BE的长， ∵∠A=30°，∴∠ABO=30°，∴BO=4，∴BE=2， ∴点B移动的最大距离是线段BE的长为2． 11.（1）证明：连接OC． ∵PC=PF，OA=OC， ∴∠PCA=∠PFC，∠OCA=∠OAC， ∵∠PFC=∠AFH，DE⊥AB， ∴∠AHF=90°， ∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠AFH+∠FAH=90°， ∴PC是⊙O的切线． （2）解：点D在劣弧AC中点位置时，才能使AD2=DE•DF，理由如下：
连接AE． ∵点D在劣弧AC中点位置， ∴∠DAF=∠DEA， ∵∠ADE=∠ADE， ∴△DAF∽△DEA， ∴AD：ED=FD：AD， ∴AD2=DE•DF． （3）解：连接OD交AC于G． ∵OH=1，AH=2， ∴OA=3，即可得OD=3， ∴DH=OD2-OH2=8=22． ∵点D在劣弧AC中点位置， ∴AC⊥DO， ∴∠OGA=∠OHD=90°， 在△OGA和△OHD中， ， ∴△OGA≌△OHD（AAS）， ∴AG=DH， ∴AC=42． 12.（1）证明：连接OD，BD， ∵AB为圆O的直径， ∴∠ADB=90°， 在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点， ∴CE=DE=BE=BC， ∴∠C=∠CDE， ∵OA=OD， ∴∠A=∠ADO， ∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°， ∴∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°， ∴DE⊥OD，又OD为圆的半径， ∴DE为⊙O的切线；
（2）证明：∵E是BC的中点，O点是AB的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴AC=2OE， ∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC， ∴△ABC∽△BDC， ∴BCCD=ACBC，即BC2=AC•CD． ∴BC2=2CD•OE；
（3）解：∵cos∠BAD=， ∴sin∠BAC=BCAC=， 又∵BE=6，E是BC的中点，即BC=12， ∴AC=15． 又∵AC=2OE， ∴OE=AC=152．
