第一篇：函数极限的证明
函数极限的证明
(一)时函数的极限：
以时和为例引入.
介绍符号:的意义,的直观意义.
定义(和.)
几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.
例1验证例2验证例3验证证……
(二)时函数的极限：
由考虑时的极限引入.
定义函数极限的“”定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4验证例5验证例6验证证由=
为使需有为使需有于是,倘限制,就有
例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:
1.定义：单侧极限的定义及记法.
几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.
例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:
th类似有:例10证明:极限不存在.
例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有
=§2函数极限的性质(3学时)
教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
教学方法：讲练结合。
一、组织教学：
我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.
二、讲授新课：
(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保号性:
4.单调性(不等式性质):
th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)
註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.
5.迫敛性:
6.四则运算性质:(只证“+”和“”)
(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：
(注意前四个极限中极限就是函数值)
这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.
利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.
例1(利用极限和)
例2例3註:关于的有理分式当时的极限.
例4
例5例6例7
第二篇：函数极限证明
函数极限证明
记g(x)=lim^(1/n)，n趋于正无穷;
下面证明limg(x)=max{a1,...am},x趋于正无穷。把max{a1,...am}记作a。
不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,m>1;
那么存在n1,当x>n1,有a/m<=f1(x)注意到f2的极限小于等于a，那么存在n2，当x>n2时，0<=f2(x)同理，存在ni，当x>ni时，0<=fi(x)取n=max{n1,n2...nm};
那么当x>n,有
(a/m)^n<=f1(x)^n<=f1(x)^n+...fm(x)^n所以a/m<=^(1/n)
第三篇：二元函数极限证明
二元函数极限证明
设p=f(x,y),p0=(a,b)，当p→p0时f(x,y)的极限是x,y同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。
此外，我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限,称为二次极限。
我们必须(转载需注明来源：WwW.haoword.cOM)注意有以下几种情形：’
(1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在
(2)两个二次极限存在而不相等
(3)两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在
2
函数f(x)当x→x0时极限存在，不妨设：limf(x)=a(x→x0)
根据定义:对任意ε>0,存在δ>0,使当|x-x0|<δ时,有|f(x)-a|<ε
而|x-x0|<δ即为x属于x0的某个邻域u(x0;δ)
又因为ε有任意性,故可取ε=1,则有:|f(x)-a|<ε=1,即:a-1
再取m=max{|a-1|,|a+1|},则有:存在δ>0,当任意x属于x0的某个邻域u(x0;δ)时,有|f(x)|
证毕
3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。
1，y以y=x^2-x的路径趋于0limitedsin(x+y)/x^2=limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路径趋于0结果是无穷大。
2，3可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点极限存在，是p(x,y)以任何方式趋向于该点。
4
f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x)
显然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在
当x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0处是波动的所以不存在
而当x->0,y->0时
由|sin(1/x)|<=1得|f|<=(x^2+y^2)/(|x|+|y|)
而x^2+y^2<=x^2+y^2+2*|x||y|=(|x|+|y|)^2
所以|f|<=|x|+|y|
所以显然当x->0,y->0时，f的极限就为0
这个就是你说的，唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的
正无穷或负无穷或无穷，我想这个就可以了
就我这个我就线了好久了
5
(一)时函数的极限：
以时和为例引入.
介绍符号:的意义,的直观意义.
定义(和.)
几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.
例1验证例2验证例3验证证……
(二)时函数的极限：
由考虑时的极限引入.
定义函数极限的“”定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4验证例5验证例6验证证由=
为使需有为使需有于是,倘限制,就有
例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:
1.定义：单侧极限的定义及记法.
几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.
例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:
th类似有:例10证明:极限不存在.
例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有
=§2函数极限的性质(3学时)
教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
教学方法：讲练结合。
一、组织教学：
我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.
二、讲授新课：
(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保号性:
4.单调性(不等式性质):
th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)
註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.
5.迫敛性:
6.四则运算性质:(只证“+”和“”)
(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：
(注意前四个极限中极限就是函数值)
这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.
利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.
例1(利用极限和)
例2例3註:关于的有理分式当时的极限.
例4
例5例6例7
第四篇：函数极限的性质证明
函数极限的性质证明
x1=2,xn+1=2+1/xn,证明xn的极限存在，并求该极限
求极限我会
|xn+1-a|<|xn-a|/a
以此类推，改变数列下标可得|xn-a|<|xn-1-a|/a;
|xn-1-a|<|xn-2-a|/a;
……
|x2-a|<|x1-a|/a;
向上迭代，可以得到|xn+1-a|<|xn-a|/(a^n)
2
只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。
用数学归纳法：
①证明{x(n)}单调增加。
x(2)=√=√5>x(1);
设x(k+1)>x(k)，则
x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)
=/【√+√】>0。
②证明{x(n)}有上界。
x(1)=1<4，
设x(k)<4，则
x(k+1)=√<√(2+3*4)<4。
3
当0
当0
构造函数f(x)=x*a^x(0
令t=1/a，则：t>1、a=1/t
且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)
则：
lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x
=lim(x→+∞)(分子分母分别求导)
=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)
=1/(+∞)
=0
所以，对于数列n*a^n，其极限为0
4
用数列极限的定义证明
3.根据数列极限的定义证明：
(1)lim=0
n→∞
(2)lim=3/2
n→∞
(3)lim=0
n→∞
(4)lim0.999…9=1
n→∞n个9
5几道数列极限的证明题，帮个忙。。。lim就省略不打了。。。
n/(n^2+1)=0
√(n^2+4)/n=1
sin(1/n)=0
实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了
第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行
第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的)
第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0
不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0
lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1
limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0
第五篇：函数极限的定义证明
习题1?3
1. 根据函数极限的定义证明:
(1)lim(3x?1)?8;x?3
(2)lim(5x?2)?12;x?2
x2?4??4;(3)limx??2x?2
1?4x3
(4)lim?2.
x??2x?12
1证明 (1)分析 |(3x?1)?8|?|3x?9|?3|x?3|, 要使|(3x?1)?8|?? , 只须|x?3|??.3
1证明 因为?? ?0, ????, 当0?|x?3|??时, 有|(3x?1)?8|?? , 所以lim(3x?1)?8.x?33
1(2)分析 |(5x?2)?12|?|5x?10|?5|x?2|, 要使|(5x?2)?12|?? , 只须|x?2|??.5
1证明 因为?? ?0, ????, 当0?|x?2|??时, 有|(5x?2)?12|?? , 所以lim(5x?2)?12.x?25
(3)分析
|x?(?2)|??.x2?4x2?4x?4x2?4?(?4)??|x?2|?|x?(?2)|, 要使?(?4)??, 只须x?2x?2x?2
x2?4x2?4?(?4)??, 所以lim??4.证明 因为?? ?0, ????, 当0?|x?(?2)|??时, 有x??2x?2x?2
(4)分析 1?4x3111?4x31?2??, 只须|x?(?)|??.?2?|1?2x?2|?2|x?(?)|, 要使2x?12x?1222
1?4x3111?4x3
?2??, 所以lim证明 因为?? ?0, ????, 当0?|x?(?)|??时, 有?2.12x?12x?122x??2. 根据函数极限的定义证明:
(1)lim1?x3
2x3
sinxx???1;2(2)limx???x?0.
证明 (1)分析
|x|?1
1?x32x311?x3?x3??22x3?12|x|3, 要使1?x32x3?11??, 只须??, 即322|x|2?.
证明 因为?? ?0, ?x?(2)分析
sinxx?0?
12?
, 当|x|?x时, 有1x
1?x32x311?x31???, 所以lim?.
x??2x322
1x
??, 即x?
sinxx
|sinx|x
?, 要使
sinx
证明 因为???0, ?x?
?2
, 当x?x时, 有
xsinxx
?0??, 只须
?
.
?0??, 所以lim
x???
?0.
3. 当x?2时,y?x2?4. 问?等于多少, 使当|x?2|<?时, |y?4|<0. 001？
解 由于x?2, |x?2|?0, 不妨设|x?2|?1, 即1?x?3. 要使|x2?4|?|x?2||x?2|?5|x?2|?0. 001, 只要
|x?2|?
0.001
?0.0002, 取??0. 0002, 则当0?|x?2|??时, 就有|x2?4|?0. 001.5
x2?1x?3
4. 当x??时, y?
x2?1x2?3
?1, 问x等于多少, 使当|x|>x时, |y?1|<0.01?
解 要使?1?
4x2?3
?0.01, 只|x|?
?3?397, x?.0.01
5. 证明函数f(x)?|x| 当x?0时极限为零.
x|x|
6. 求f(x)?, ?(x)?当x?0时的左﹑右极限, 并说明它们在x?0时的极限是否存在.
xx
证明 因为
x
limf(x)?lim?lim1?1,
x?0?x?0?xx?0?x
limf(x)?lim?lim1?1,
x?0?x?0?xx?0?limf(x)?limf(x),??
x?0
x?0
所以极限limf(x)存在.
x?0
因为
lim?(x)?lim??
x?0
x?0
|x|?x
?lim??1,?x?0xx|x|x?lim?1,xx?0?x
lim?(x)?lim??
x?0
x?0
lim?(x)?lim?(x),??
x?0
x?0
所以极限lim?(x)不存在.
x?0
7. 证明: 若x???及x???时, 函数f(x)的极限都存在且都等于a, 则limf(x)?a.
x??
证明 因为limf(x)?a, limf(x)?a, 所以??>0,
x???
x???
?x1?0, 使当x??x1时, 有|f(x)?a|?? ;?x2?0, 使当x?x2时, 有|f(x)?a|?? .
取x?max{x1, x2}, 则当|x|?x时, 有|f(x)?a|?? , 即limf(x)?a.
x??
8. 根据极限的定义证明: 函数f(x)当x?x0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.
证明 先证明必要性. 设f(x)?a(x?x0), 则??>0, ???0, 使当0<|x?x0|<? 时, 有
|f(x)?a|<? .
因此当x0??<x<x0和x0<x<x0?? 时都有
|f(x)?a|<? .
这说明f(x)当x?x0时左右极限都存在并且都等于a .再证明充分性. 设f(x0?0)?f(x0?0)?a, 则??>0,??1>0, 使当x0??1<x<x0时, 有| f(x)?a<? ;??2>0, 使当x0<x<x0+?2时, 有| f(x)?a|<? .
取??min{?1, ?2}, 则当0<|x?x0|<? 时, 有x0??1<x<x0及x0<x<x0+?2 , 从而有
| f(x)?a|<? ,
即f(x)?a(x?x0).
9. 试给出x??时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.
解 x??时函数极限的局部有界性的定理? 如果f(x)当x??时的极限存在? 则存在x?0及m?0? 使当|x|?x时? |f(x)|?m?
证明 设f(x)?a(x??)? 则对于? ?1? ?x?0? 当|x|?x时? 有|f(x)?a|?? ?1? 所以|f(x)|?|f(x)?a?a|?|f(x)?a|?|a|?1?|a|?
这就是说存在x?0及m?0? 使当|x|?x时? |f(x)|?m? 其中m?1?|a|?
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