专题九 解析几何 第二十七讲 抛物线 2019年 1.（2019全国II文9）若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p= A．2 B．3 C．4 D．8 2.（2019浙江21）如图，已知点为抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧.记的面积为. （1）求p的值及抛物线的准线方程；
（2）求的最小值及此时点G的坐标. 3.(2019全国III文21）已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B. （1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程. 1.解析（1）设，则. 由于，所以切线DA的斜率为，故 ，整理得 设，同理可得. 故直线AB的方程为. 所以直线AB过定点. （2）由（1）得直线AB的方程为. 由，可得. 于是. 设M为线段AB的中点，则. 由于，而，与向量平行，所以.解得t=0或. 当=0时，=2，所求圆的方程为；
当时，，所求圆的方程为. 2010-2018年 一、选择题 1．（2017新课标Ⅱ）过抛物线：的焦点，且斜率为的直线交于点(在轴上方)，为的准线，点在上且⊥，则到直线的距离为 A． B． C． D． 2．（2016年全国II卷）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k>0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k= A． B．1 C． D．2 3．（2015陕西）已知抛物线()的准线经过点，则该抛物线的焦点坐标为 A．(－1，0) B．(1，0) C．(0，－1) D．(0，1) 4．（2015四川）设直线与抛物线相交于两点，与圆相切于点，且为线段的中点．若这样的直线恰有4条，则的取值范围是 A． B． C． D． 5．（2014新课标1）已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个焦点，若，则= A． B． C．3 D．2 6．（2014新课标2）设为抛物线C：的焦点，过且倾斜角为30°的直线交于两点， 为坐标原点，则△的面积为 A． B． C． D． 7．（2014辽宁）已知点在抛物线C：的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为 A． B． C． D． 8．（2013新课标1）为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为 A． B． C． D． 9．（2013江西）已知点，抛物线的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|= A．2: B．1:2 C．1: D．1:3 10．（2012新课标）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于、两点，，则的实轴长为 A． B． C．4 D．8 11．（2012山东）已知双曲线：的离心率为2．若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为 A． B． C． D． 12．（2011新课标）已知直线过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，与C交于，两点，，为C的准线上一点，则的面积为 A．18 B．24 C．36 D．48 二、填空题 13．(2018北京)已知直线过点且垂直于轴，若被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________． 14．（2015陕西）若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则= 15．（2014湖南）如图，正方形的边长分别为，原点为的中点，抛物线经过 ． 16．（2013北京）若抛物线的焦点坐标为，则 ，准线方程为 ． 17．（2012陕西）右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米． 18．（2010浙江）设抛物线的焦点为，点．若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为_____________． 三、解答题 19．（2018全国卷Ⅱ）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，． (1)求的方程；
(2)求过点，且与的准线相切的圆的方程． 20．（2018浙江）如图，已知点是轴左侧(不含轴)一点，抛物线：上存在不同的两点，满足，的中点均在上． (1)设中点为，证明：垂直于轴；
(2)若是半椭圆()上的动点，求面积的取值范围． 21．（2017新课标Ⅰ）设，为曲线：上两点，与的横坐标之和为4． (1)求直线的斜率；
(2)设为曲线上一点，在处的切线与直线平行，且，求直线的方程． 22．（2017浙江）如图，已知抛物线．点，，抛物线上的点，过点作直线的垂线，垂足为． （Ⅰ）求直线斜率的取值范围；
（Ⅱ）求的最大值． 23．（2016年全国I卷）在直角坐标系中，直线：交轴于点，交抛物线：于点，关于点的对称点为，连结并延长交于点． （I）求；
（II）除以外，直线与是否有其它公共点？说明理由． 24．（2016年全国III卷）已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点． （I）若在线段上，是的中点，证明；
（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程． 25．（2016年浙江）如图，设抛物线的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于． （I）求p的值；
（II）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围． 26．（2015浙江）如图，已知抛物线：，圆：，过点作不过原点的直线，分别与抛物线和圆相切，为切点． （Ⅰ）求点的坐标；
（Ⅱ）求的面积． 注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点． 27．（2015福建）已知点为抛物线（）的焦点，点在抛物线上，且． （Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）已知点，延长交抛物线于点，证明：以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切． 28．（2014山东）已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有，当点的横坐标为3时，为正三角形。
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点， （ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；
若不存在，请说明理由． 29．（2014陕西）如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为． （Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的方程． 30．（2013广东）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点． （Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）当点为直线上的定点时，求直线的方程；
（Ⅲ）当点在直线上移动时，求的最小值． 31．（2012新课标）设抛物线：的焦点为，准线为，为上一点，已知以为圆心，为半径的圆交于、点． （Ⅰ）若，的面积为，求的值及圆的方程；
（Ⅱ）若、、三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到、距离的比值． 32．（2011新课标）在平面直角坐标系中， 已知点，点在直线上，点满足，，点的轨迹为曲线C． （Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）为C上动点，为C在点处的切线，求点到距离的最小值． 专题九 解析几何 第二十七讲 抛物线 答案部分 2019年 1.解析：由题意可得：，解得．故选D． 2.（I）由题意得，即p=2. 所以，抛物线的准线方程为x=−1. （Ⅱ）设，重心.令，则. 由于直线AB过F，故直线AB方程为，代入，得 ， 故，即，所以. 又由于及重心G在x轴上，故，得. 所以，直线AC方程为，得. 由于Q在焦点F的右侧，故.从而 . 令，则m>0， . 当时，取得最小值，此时G（2，0）. 3.解析（1）设，则. 由于，所以切线DA的斜率为，故 ，整理得 设，同理可得. 故直线AB的方程为. 所以直线AB过定点. （2）由（1）得直线AB的方程为. 由，可得. 于是. 设M为线段AB的中点，则. 由于，而，与向量平行，所以.解得t=0或. 当=0时，=2，所求圆的方程为；
当时，，所求圆的方程为. 2010-2018年 1．C【解析】由题意可知，如图，又抛物线的定义得，所以 为等边三角形，在三角形中，，，得，所以到的距离为等边三角形中边上的高，易知为．选C． 2．D【解析】易知抛物线的焦点为，设，由轴得，代入抛物线方程得舍去)，把代入曲线的，故选D． 3．B【解析】因为抛物线的准线方程为，∴，∴焦点坐标为． 4．D 【解析】当直线的斜率不存在时，这样的直线恰好有2条，即，所以；
所以当直线的斜率存在时，这样的直线有2条即可．设，， ，则．又， 两式相减得，． 设圆心为，则，因为直线与圆相切， 所以，解得，于是，，又， 即，所以，又，所以，选D． 5．C【解析】过点作交于点，因为，所以，又焦点到准线的距离为4，所以．故选C． 6．D【解析】易知抛物线中，焦点，直线的斜率，故直线的方程为，代入抛物线方程，整理得． 设，则，由物线的定义可得弦长 ，结合图象可得到直线的距离， 所以的面积． 7．D【解析】∵在抛物线的准线上，∴．∴，∴， 设直线的方程为①，将①与联立， 得②，则△=， 即，解得或（舍去）， 将代入①②解得，即，又，∴，故选D． 8．C【解析】∵，由抛物线的定义可得点的坐标， ∴的面积为． 9．C【解析】依题意可得AF所在直线方程为代入x2=4y得， 又|FM|：|MN|=（1-y）：（1+y）＝1:． 10．C【解析】设交的准线 于 得：
11．D【解析】∵双曲线：的离心率为2,所以 又渐近线方程为所以双曲线的渐近线方程为 而抛物的焦点坐标为所以有. 故选D． 12．C【解析】设抛物线的方程为，易知，即， ∵点在准线上，∴到的距离为，所以面积为36，故选C． 13．【解析】由题意知，对于，当时，，由于被抛物线截得的线段长为4，所以，所以，所以抛物线的焦点坐标为． 14．【解析】的准线方程为，又，所以必经过双曲线的左焦点，所以，． 15．【解析】由正方形的定义可知BC= CD，结合抛物线的定义得点D为抛物线的焦点，所以，D，将点F的坐标代入抛物线的方程得，变形得， 解得或（舍去），所以． 16．2，【解析】；
准线． 17．【解析】建立直角坐标系，使拱桥的顶点O的坐标为（0,0），设抛物线的方程为，与抛物线的交点为A、B， 根据题意知A（–2，–2），B（2，–2） 则有，∴ ∴抛物线的解析式为 水位下降1米，则y=–3，此时有或 ∴此时水面宽为米． 18．【解析】由题意可得的值为，B点坐标为（）所以点B到抛物线准线的距离为． 19．【解析】(1)由题意得，的方程为． 设， 由得． ，故． 所以． 由题设知，解得（舍去），． 因此的方程为． (2)由(1)得的中点坐标为，所以的垂直平分线方程为， 即． 设所求圆的圆心坐标为，则 解得或 因此所求圆的方程为或． 20．【解析】(1)设，，． 因为，的中点在抛物线上，所以，为方程 即的两个不同的实数根． 所以． 因此，垂直于轴． (2)由(1)可知 所以，． 因此，的面积． 因为，所以． 因此，面积的取值范围是． 21．【解析】（1）设，，则，，，x1+x2=4， 于是直线的斜率． （2）由，得． 设，由题设知，解得，于是． 设直线的方程为，故线段的中点为，． 将代入得． 当，即时，． 从而． 由题设知，即，解得． 所以直线AB的方程为． 22．【解析】（Ⅰ）设直线AP的斜率为， ， 因为，所以直线AP斜率的取值范围是。
（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程 解得点Q的横坐标是 因为 == = =， 所以 = 令， 因为 ， 所以在区间上单调递增，上单调递减， 因此当时，取得最大值． 23．【解析】（Ⅰ）由已知得，. 又为关于点的对称点，故，的方程为， 代入整理得，解得，， 因此．所以为的中点，即． （Ⅱ）直线与除以外没有其它公共点.理由如下：
直线的方程为，即. 代入得，解得，即直线与只有一个公共点，所以除以外直线与没有其它公共点. 24．【解析】（Ⅰ）由题设.设，则，且 . 记过两点的直线为，则的方程为. （Ⅰ）由于在线段上，故. 记的斜率为，的斜率为，则 . 所以. （Ⅱ）设与轴的交点为， 则. 由题设可得，所以（舍去），. 设满足条件的的中点为. 当与轴不垂直时，由可得. 而，所以. 当与轴垂直时，与重合．所以所求轨迹方程为. 25．【解析】(Ⅰ)由题意得抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线的距离． 由抛物线的第一得，即. (Ⅱ)由(Ⅰ)得抛物线的方程为，可设. 因为AF不垂直于y轴，可设直线AF:,,由消去得 ，故，所以. 又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为， 从而的直线FN：，直线BN：， 所以， 设M(,0)，由A，M，N三点共线得：， 于是，经检验，或满足题意. 综上，点M的横坐标的取值范围是. 26．【解析】（Ⅰ）由题意可知，直线的斜率存在，故可设直线的方程为． 所以消去．整理得：． 因为直线与抛物线相切，所以，解得. 所以，即点．设圆的圆心为， 点的坐标为，由题意知，点关于直线对称， 故有，解得．即点． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，， 直线的方程为， 所以点到直线的距离为． 所以的面积为． 27．【解析】解法一：（Ⅰ）由抛物线的定义得． 因为，即，解得， 所以抛物线的方程为． （Ⅱ）因为点在抛物线上， 所以，由抛物线的对称性，不妨设． 由，可得直线的方程为． 由，得， 解得或，从而． 又， 所以，， 所以，从而，这表明点到直线的距离相等，故以为圆心且与直线相切的圆必与直线相切． 解法二：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）设以点为圆心且与直线相切的圆的半径为． 因为点在抛物线：上， 所以，由抛物线的对称性，不妨设． 由，可得直线的方程为． 由，得， 解得或，从而． 又，故直线的方程为， 从而． 又直线的方程为， 所以点到直线的距离． 这表明以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切． 28．【解析】（Ⅰ）由题意知，设，则的中点为 因为，由抛物线的定义可知， 解得或（舍去） 由，解得．所以抛物线的方程为． （Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，设． 因为，则， 由得，故，故直线的斜率 因为直线和直线平行， 设直线的方程为，代入抛物线的方程得， 由题意，得 设，则 当时，， 可得直线的方程为，由， 整理得，直线恒过点 当时，直线的方程为，过点，所以直线过定点． （ⅱ）由（ⅰ）知直线过定点， 所以。
设直线的方程为，因为点在直线上 故．设，直线的方程为 由于，可得，代入抛物线的方程得 所以，可求得， 所以点到直线的距离为 == 则的面积， 当且仅当即时等号成立， 所以的面积的最小值为． 29．【解析】（Ⅰ）在，方程中，令，可得b=1,且得是上半椭圆 的左右顶点， 设的半焦距为，由及，解得，所以， （Ⅱ）由（Ⅰ）知，上半椭圆的方程为， 易知，直线与轴不重合也不垂直，设其方程为 代入的方程中，整理得：
（*） 设点的坐标，由韦达定理得 又，得，从而求得 所以点的坐标为． 同理，由得点的坐标为 ， ，,即 ，，解得 经检验，符合题意，故直线的方程为 30．【解析】（Ⅰ）依题意，解得（负根舍去） 抛物线的方程为． （Ⅱ）设点,，， 由,即得． ∴抛物线在点处的切线的方程为， 即． ∵， ∴． ∵点在切线上, ∴. ① 同理， . ② 综合①、②得，点的坐标都满足方程 . ∵经过两点的直线是唯一的， ∴直线 的方程为，即． （Ⅲ）由抛物线的定义可知， 所以 联立，消去得， 当时，取得最小值为． 31．【解析】（Ⅰ）由对称性知：是等腰直角，斜边 点到准线的距离 圆的方程为 （Ⅱ）由对称性设，则 点关于点对称得：
得：，直线 切点 直线 坐标原点到距离的比值为． 32．【解析】（Ⅰ）设，由已知得，． 所以=， =(0，)， =(，-2). 再由题意可知（+）• =0， 即（，）• (，－2)=0． 所以曲线C的方程式为． （Ⅱ）设为曲线C：上一点，因为，所以的斜率为， 因此直线的方程为，即． 则点到的距离．又，所以 当=0时取等号，所以点到距离的最小值为2．
