蔡中婷
摘要：“移多补少”是指研究具有相差关系的两个量，把多的量移给少的一部分，从而使两个量相等的一类问题。文章以“移多补少”拓展性学材开发为例，探究了提升学生思维能力的方法。
关键词：小学数学 促生长 “移多补少” 学材开发
一、对接旧知：唤经验
旧知是新知的基础，会对新知的学习产生影响。因此，在编写拓展性学材时，教师应该对接旧知，激活学生的学习经验。
课本衔接：
①第一行摆：
第二行摆：
第一行比第二行多_____个气球，第二行比第一行少_____个气球。
②明明有5张邮票，东东有12张邮票，东东和明明相差_____张邮票。
解决“移多补少”问题，讨论的是相差数和移动数之间的关系，有时候问题还涉及根据相差数和一个量求另一个量。因此，笔者设计了一组相差数问题，从象形图入手，再到文字表征，契合学生的认知规律，为之后“移多补少”的学习做好基础铺垫。
二、循“序”渐进：建模型
建构主义学习理论强调，教师的讲解并不能直接将知识传递给学生，知识必须通过学生主動建构才能获得。因此，教师必须构建序列型问题组，循“序”渐进，引导学生主动建构模型。
（一）从形入手，建表象
我们从形入手，给学生提供一个认知学习的“脚手架”，帮助学生建立知识表象，再逐渐过渡到抽象表征建模。
例1.1怎样移动才能使两行的铅笔同样多？
例1.2 要使两行的三角形同样多，怎样移？
上述2个例题构成一组，让学生在纸上“画一画”，如果有困难也可以借助小圆片动手“移一移”，在操作过程中，学生要先找到多出来的部分，然后把多出来的部分其中的一半移给少的。此时，教师的教学重点应落在追问上：“你是怎么移的？”获取学生思维层次。第一层次：移错，把多出来的部分全部移给少的;第二层次：知道不能把多出来的部分全部移给少的，会先一个一个少量移，结果正确但是不知道隐含的相差数和移动数之间的关系;第三层次：先找出相差数，再把多的部分平均分成两份，一份留给自己，一份移给少的，明白其中的隐含关系。通过三个层次的对比，教师分层引导学生对比、讨论，使学生初步建立“移多补少”的认知表象。
（二）动手操作，促认知
例2 动手剪一剪：把两张不一样长的纸条变成一样长，不能丢弃任何一部分纸条。
通过上述在象形图中移一移，学生已初步具备认知表象，但是部分学生对“移动数是相差数的一半”的认识不够立体，所以通过剪纸带的活动，教师将“移多补少”的方法进行半抽象化处理。学生剪出相差部分后，思考移动数时，不像之前的情况可以数出相差部分的数量尝试着移，有“试误”机会，而这里纸带的长度未知，无法“试误”，学生只能动手将多出来的部分对折，沿着折痕剪下后补给少的，两段才会同样长。“对折”这一操作巧妙地让学生感悟到多出来的部分必须平均分成两份，一份留给“自己”，一份移给少的，自然地过渡到“移动数是相差数的一半”的认知。
（三）从数到形，建模型
模型的建构从“形”到“数”，“形”为“数”提供表象支撑，“数”为“形”延伸理解深度。
例3.1 小明有10个苹果，小红有4个苹果，小明要给小红几个，他们才会同样多？
例3.2 小明比小红多6个苹果，小明要给小红几个，他们才会同样多？
之前的例题都给学生提供了辅助的脚手架——象形图，在图的帮助下学生逐渐建立起“移动补少”的认知表象。此时，教师可以适时抽离“脚手架”，以数代形，将信息的表征方式改为文字，将形象认知转化为抽象认知。不同层次的学生可能会有不同水平的解决方式：第一层次的学生可能会自己画出象形图，然后在图上移一移;第二层次的学生可能直接找“相差数和移动数之间的关系”来求“移动数”。
例3.3 小明有10个苹果，比小红多6个苹果，小明要给小红几个，他们才会同样多？
正确的做法有两种：第一种，先求出小红的苹果数量，再求出他们的差，再根据相差数求移动数;第二种，直接根据“小明比小红多6个苹果”得出相差数就是6，再根据相差数求移动数。大多数学生可能会“舍近求远”选择第一种做法。这就是一种思维惯性，即一定先求出另一个未知的量，两个量都已知后，在图上把两个量都画出来，在图上找相差数确定移动数。从内部结构来分析，“移多补少”模型的建立分为两个阶段：第一阶段是在实物图感知经验的基础上建立的，在学生的头脑中有着牢固的表象基础，这种形象支撑让学生更容易理解模型。第二阶段是直接找“相差数和移动数之间的关系”从而确定移动数，是建立在第一阶段基础上的一种理论概括，更具抽象性。它不仅仅是知识层面的拓展，更是一个从形象到抽象的拓展。
所以例3.3存在的目的就是打破思维惯性，让学生理解这个模型的本质是找到相差数从而确定移动数，如果相差数已知就不需要再去求相差数，这个“小插曲”能使学生建立的模型更加完善，对模型的理解也更透彻深入。
（四）逆向而行，固模型
逆向思维也叫“求异思维”，可以想成“反其道而思之”，让思维向对立面发展，从问题的相反面深入探索，进一步完善知识结构。如对例1进行逆向思考，形成可逆关系的一组题。
联1：要使上面一行比下面一行的铅笔多4支，可以怎么移？
联2：上面一行的铅笔移2支到下面一行后，两行的铅笔就同样多，原来上面一行比下面一行多几支？
联3：按要求摆一摆，画一画。要求：从第一行移动2个○到第二行，两行就同样多。
以上题组的内部结构分析如表1所示，联1是将例1、2的条件作等价变换，结构是和例题一致的，联2是例题的逆向结构，即已知移动数反过来求相差数，联3则是在联2的基础上的深化，已知移动数求相差数后，再根据相差数和其中一个量求另一个量。正向和逆向的双向思考，可以使该类型的内部结构清晰明了，更有助于学生建立认知网络结构，巩固模型。
三、多维拓展：促生长
（一）横向而行，拓宽度
1. 拓“对象”，由二元到多元
例4.1图1中一共有多少个小正方体？
例4.2 图2中一共有多少个棋子？
例4.3 一分钟内，三个学生跳绳分别为80、75、85下，可以把这三个学生的成绩都看成1分钟（）下。
例4.4 把下列加法算式改写成加数相同的加法算式。
①4+5+6= ②4+5+6+7+8=
①與原例题相比，对象拓宽，从2个增加到3个，但是解决问题的模型没变，仍然是找相差数后求移动数，但是思维难度加深
2.拓“解法”，由单一到多种
例5 兔哥哥采了6个蘑菇，兔弟弟采了4个蘑菇，兔妈妈把她采的10个蘑菇分给兔哥哥和兔弟弟，怎么分，两人拥有的蘑菇同样多？
这题可以用“移多补少”的方法，先将兔弟弟比兔哥哥少的2个蘑菇补齐，然后将剩下的蘑菇平均分，还可以将三人的蘑菇合起来，再平均分成两份分给兔哥哥和兔弟弟。一题多解能开阔学生视野，丰富学生的解题思路。
（二）纵向而行，拓深度
纵向对问题进行深度上的拓展，即对原问题进行半等价变化，如加强或减弱原问题的条件，可得到原命题的抽象或弱抽象命题，这就是一种半等价变化。
例6.1 哥哥比妹妹多9张邮票，哥哥给妹妹几张后，还比妹妹多3张？
例6.2 哥哥比妹妹多9张邮票，哥哥给妹妹几张后，哥哥反而比妹妹少3张？
例6.3 哥哥给妹妹5张邮票后，哥哥还比妹妹多2张，原来哥哥比妹妹多几张邮票？
例6.4 哥哥给妹妹5张邮票后，哥哥还比妹妹少2张，原来哥哥比妹妹多几张邮票？
这组例题在原例题的基础上，将问题从“同样多”变更为“还比妹妹多3张”，再将“多3张”变更为“少3张”，将问题半等价化拓展深度，通过对比寻“变”，而寻“变”过程中知“不变”，通过多维延伸拓展探寻出“不变”的本质。而例6.3和例6.4则是从逆向角度，同样将问题半等价化拓宽深度，再次在“变”中探寻到“不变”的本质特征，也算从另一个方向验证结果，正向和逆向双向贯通，更能加深学生对知识内部结构的深度理解。
总之，在编写拓展性学材时，教师应注重让学生经历学习序列，感受建模之路，促进学生知识和能力的生长。
参考文献：
[1]喻平.数学教学心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2018.
[2]孔凡哲.数学学习心理学[M].北京：北京大学出版社，2012.
（作者单位：浙江省玉环市城北学校）
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