涂玉霞 方菊
类比思想是一种重要的数学思想，更是一种重要的数学方法。所谓类比，指以同类事物或相近性质为基础进行比较推理，以了解新事物的一种思想方法。计算教学中，有很多类比思想方法的具体运用，如运算方法的类比、解决问题方法的类比等。本期，我们讨论在计算教学中，如何更好地培养学生的类比思想，并运用类比思想方法解决问题。
类比是借助两个或两类思考对象在某些属性上的相同或相似， 由已知一类属性推出它们在另一类属性上也相同或相似的一种推理方法。美国著名数学家乔治·波利亚提出“类比是一个伟大的引路人”，相应地，类比思想可成为计算教学的引路人。如何在教学中渗透类比思想，促进学生已有知识、经验的有效迁移呢？
一、聚焦本质，类比算理
算法、算理知识之间存在着密切的内在联系，教师在教学新知时，往往需要学生脑海中具有同化新知的上位概念或相似概念。因此，教师需要激活学生已有的计算知识和经验，把握新旧知识之间的本质联系，寻找新旧知识之间的一致性和相似性，搭建类比学习的支架。
教学《异分母分数加减法》时，部分教师直接借助直观图进行教学。这样教学后，几乎所有学生都知道“异分母分数相加减，先通分，再按照同分母分数进行运算”的计算法则，但对算理的理解并不深刻，在知识的系统性上缺乏有效构建。
良好的数学学习材料能够激发学生思维的火花。在这节课的导入环节，教师可以出示以下题目：13时-12分=（ ）;5千克-200克=（ ）;3.5千米+200米=（ ）;[45-15=]（ ）;[48+14 =]（ ）;[35+12=]（ ）。通过分析这6道计算题，我们可以发现，异分母分数加减法的算理和“时间计算”“质量计算”“长度计算”“同分母分数加减法的计算”有本质上的联系，即相同的计数（数量）单位才能直接相加减。学生在计算含有不同计数（数量）单位的题目时，首先会将它们转化为统一的计算（数量）单位，然后再进行计算。因此，在学习异分母分数加减法时，学生受此启发，能通过类比思考理解异分母分数的加减计算要先通分，将异分母分数化成同分母的分数，再进行加减运算的道理。随后，教师可以呈现直观图，引导学生利用圆片表示计算的过程和结果，并追问：“为什么要把圆片平均分成10份？”经过思考，学生能充分体会到不同分数单位无法直接相加减，而转化成相同分数单位后，就可以直接相加减。
学生在理解的基础上掌握“相同的计数（数量）单位才能直接相加减”这一计算的本质原理，有助于学生抓住新旧知识之间的本质联系，突破算理学习的难点，并将小学阶段的整数、小数、分数加减法进行系统构建。
二、融合经验，类比算法
建构主义学习理论认为，学习是要根据学生已有的知识经验，引导学生建构新的经验。《现代汉语词典》中，“经验”有两个含义：一是由实践得来的知识与技能，二是经历。如果学生能把已有的生活、知识经验进行有效融合，就能以生动、形象的方式内化知识。
乘法分配律是小学数学中的一个难点，学生容易把它与乘法结合律混淆，而且在实际应用中，题目稍加变化，学生就可能错误频出。教师除了用乘法意义、问题情境帮助学生理解，还可以增加一些更直观的方式。比如，特级教师徐长青执教“乘法分配律”时，通过生活情景讲解乘法分配律的“样式”。20年后，两名学生去探望老师，进门后，老师分别与学生握手问好。此情境中，“（小王+小李）跟老师握手=小王跟老师握手+小李跟老师握手”，这与“（a+b）×c=a×c+b×c”类似。教师利用这个情境教学，能使学生对“分别相乘”有更深刻的体会。我们还可以拓展一下，如果来了三名学生，就是“（a+b+c）×d=a×d+b×d+c×d”。这种类比有利于培养学生思维的灵活性。
又如，教学“括号”的相关知识时，在没有引入中括号前，学生这样列式：24÷（3×（3+1）=2。教师提问：对于这道题，你先算什么、再算什么？学生回答：先算3+1=4，再算3×4=12，最后算24÷12=2。随即有学生质疑：这样表达不合适，应该把外面的小括号改成中括号，即24÷[3×（3+1）]=2。教师追问：为什么要把小括号改成中括号？学生回答：小括号多了，不好看，也看不清楚。教师引导：如果我换衣服时，脱掉外面的西服，把旁边早就准备好的另一件衬衣再套上来，你们觉得怎么样？学生笑着回答：两件衬衣套在一起不合适。教师小结：对，里面的小括号就像是襯衣，我们在衬衣外面再套一件衬衣显然不合适。
“不能在衬衣外面再套一件衬衣”，这一类比把小括号外面不能再使用小括号的数学知识阐释得特别贴切，凸显了中括号产生的意义。相对于数学知识的抽象化、系统化、符号化等特征而言，学生的学习应该是情理融合的，这样能促进学生对知识的理解和记忆。教师要找到生活经验与数学经验的契合点，以恰当的类比帮助学生更好地展开数学化思考。
三、同构联想，类比模型
美国教育心理学家杰罗姆·布鲁纳提出动作的、形象的和符号化的三种学习的表征方式，并认为这三者之间存在一种严格的递进关系。在比较复杂的计算中，我们可以借助不同的表征方式，通过联想结构相同或相似的问题解决模型，获得计算方法和策略的迁移。
《等差数列求和》的教学一直面临“教师难教，学生难学”的现象。在等差数列求和的学习过程中，学生最早会接触到“1+2+3+…+98+99+100=（ ）”这样的题目。一般情况下，教师会让学生记住“数列和=（首项+末项）×项数÷2”这个求和公式，并通过大量的练习题加以巩固。在这个过程中，学生并没有在脑海中形成计算直观，导致题目稍加变化便不知所措的现象。如“1+4+7+…+97+100+103=（ ）”这道题，首项和尾项相加很简单，但项数是多少呢？为了帮助学生理解，教师可以引入“植树问题”，通过解决问题模型的类比，把“数”形象地转化为“树”，使计算等差数列项数的问题建立在植树问题模型（两端都栽）之上，让学生轻松掌握求等差数列项数的方法。具体教学过程如下。
师：同学们，等差数列相邻两个数的差都是相等的，这跟我们学过的什么知识相似？
生1：跟植树问题相似，间隔都相等。
师（出示下图）：一条路上，我们从第1米开头处开始栽树，栽到第103米开头处，第一棵树与最后一棵树之间的距离有多长？<E：＼2020排版新＼教育教学＼2022＼5＼2022-5内文＼Image＼微信图片_20220420114414.png>
生2：102米。
师：从数列中可以看出，我们是每隔3米栽一棵树的，且从头到尾都栽。一共栽了几棵树呢？
生3：棵数=距离÷间隔长+1 ，即102÷3+1=35（棵）。
师：数的个数=树的棵数，那么这一组数的和是多少？
生4：（1+103）×35÷2=1820。
把求等差数列项数的问题转化成植树问题（两端都栽）中求植树棵数的问题，就简单多了。学生不用刻意记忆这些公式，看到等差数列求和问题就去联想植树问题，便能轻而易举地掌握求项数的方法。
（作者单位：涂玉霞，湖北第二师范学院;方菊，湖北师范大学硕士研究生）
责任编辑 刘佳
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