鲁和平
排列组合是高中数学的重要学习章节，它对考查学生思维的严密性、深刻性、广阔性等具有不可替代的作用，也为学生进一步学习“组合数学…‘概率统计”奠定了坚实的基础.但在排列组合解题中，有些题目所需要的思维方式，却超出了数学的范畴.如果仅仅停留在数学苑网“深挖洞”，可能最终导致无功而返.如果进一步拓广思维视野，跳出数学的方寸天地，就会豁然开朗，姑且把这种思维方式，称为“物理”操作.简而言之，就是要通过一系列的“物理”操作，才能完成解题过程.
一、重构操作
即根据题目的意思，在保持原题本质不变的前提下，重新设计操作程序，使新的操作设计更加贴近题意，更具“数学化”.
例1 袋子里有红、黑、白、黄四种颜色的大小相同的小球各10个.每种颜色的10个小球分别标有数字1、2、3、4、…10.若从中任取4个小球，这4个小球颜色互不相同，且所标数字互不相邻的不同取法共有多少种？
解析首先假想准备10个无颜色无标号的10个大小相同的小球.①将其中的6个球摆好，这6个球连同左右两边一共形成7个空位，②在上述7个空位中，插入另外4个小球，共有C7种，并将这4个小球做好记号，③将上述10个小球从左到右标上序号：1，2，3，…10.④将插入并做好记号的4个小球取出，给小球依次在“红、黑、白、黄”四种颜色中任选一种涂色，则4个小球的涂色方法数为：A4.⑤则合乎题意的不同取法共有：Ⅳ=C4.A：= 840种.
例2从1，2，3，…，9中任取5个数字组成无重复数字的五位数，要求其中仅含有两个连续的数，且这两个连续的数相邻的五位数有多少个？
解析①将余下的4个数，当作4个相同的小球摆成一排，则一共留出（包括左右两边）5个空位.
②将连续的2个数看作2个小球，捆绑成1个小球，插入5个空位中的1个空位.
③将余下的4个空位中插入另外3个小球.
④标记插入的4个单位的“球”，
⑤将这8个小球（实质上是9个）从左至右依次編号1、2、3、…、9.
⑥取出插入的4个单位的“球”，
⑦将这有编号的4个单位的“球”全排列成五位数.
⑧依题意，满足要求的五位数共有：G3.C4.A2.A4=960个，
二、退步操作
对于有范围限制的排列组合问题，可以先退步思考，满足题设条件，使限制范围变得单一常规，再根据组合模式，寻找进一步的解题方法.
例3将15个大小相同的小球放人标有“1，2，3，4”编号的盒子里.则每个盒子里放入的球的个数不小于该盒子的编号数的放法一共有多少种？
解析①如图l所示，预先在2号、3号、4号盒子里依次投入1个、2个、3个小球，则剩余9个小球，②将剩余的9个小球摆成一排，中间留出8个空位，③在上述8个空位里，任意插入3块隔板.④则满足题意的方法一共有：C8=56种.
例4已知M={l，2，3，…，12}，从集合M中任取4个数，要求这4个数中，至少有2个数相邻，问共有多少种取法？
解析①从集合M中任取4个数，共C12 种.②将剩余的8个数，当作8个相同的小球摆成一排，一共留出包括左右两边9个空位，③在9个空位中插入4个小球，并标上记号，④将上述12个球，从左至右，按1，2，3，…，12编号.⑤将标上记号后插入的4个小球取出，则这4个小球号码各不
三、配位操作
对于“搭配”问题，可以先进行配位操作，使之成为一个“大单位”的“元素”，再按照常规思路考虑.
例6公园里有3人坐在8把椅子上，坐好后，若每人的左右两边都要有空椅，则有多少种不同的坐法？
解析①先将不坐人的5把椅子排成一排，中间一共留下4个空位.②将3个人安排，每人坐一把椅子，③将“人+椅子”看作1个单位的“人”，在上述4个空位中选择3个空位推进去，④满足题意的坐法共有：A4= 24种.
四、无为操作
对于有些题目，表面上看是有序排列问题，但深入细究，却是组合问题.因为各个元素是相异的，本身就存在天然的次序，这就需要“无为而治”，相反地，如果真正“有为操作”，则会弄巧成拙.
例7把五位数abcde中满足“a>b>c.c
解析①从“0，1，2，3，…，9”中任取5个数，共有c5。种，将取出的5个数中最小的数赋给c.②从取出的5个数剩余的4个数取出2个数，共有C2种，将取出的2个数中较大的赋给a，较小的赋给b.③将5个数中还剩余的2个数，较大的数赋给e，较小的赋给d.④综上所述：五位“凹数”一共有：C10.C4= 1512个，
五、筑巢操作
对于有些排列组合问题，单从表面思考，很难找到突破口.若将此问题放置在一个大的背景下思考，则会迅速迸发出思维的火花，给一个较难的问题，安置一个大背景，形象地称之为“筑巢操作”.
例8在平面直角坐标系中，x轴正半轴上有5个点，，轴正半轴上有3个点，将x轴上这5个点与y轴上这3个点，连成15条线段，这15条线段在第一象限的交点最多有多少个？
解析如图3所示，①从x轴正半轴上的5个点中任选2个点，共有C5种.②从y轴正半轴上的3个点中任选2个点，共有C3种.③以上选出的4个点，共可构成C3.C2=30个四边形，④每个四边形的对角线都有1个交点.⑤满足题意的交点最多有30个，
六、符号操作
对于题目所描述的现象，可以抽象为用数学符号来阐释，把这一类操作称为“符号操作”，它的好处在于能迅速建立操作与数学符号的有机联系，为数学化解决问题做好铺垫.
例9 A，B，C，D，E站成一圈传球，每人只能将球传给其左右相邻两人中的一人.由A开始传出（算作第一次），经过10次传球后又回到A的传球方式共有多少种？
解析记向左传为“+1”，向右传为“一l”.由A开始传出10次球后，又回到A，就是在10个“1”前面添加正号或负号，使其代数和为10，或0.或- 10.
①当代数和为“10”时，全是“+”，有1种，
②当代数和为“- 10”时，全是“一”，有1种.
③当代数和为“0”时，即有5个“+”.5个“一”，共有C510= 252种，
④综上所述：满足题意的传球方式有：1+1+252= 254种.
（收稿日期：2022 -03 - 12）
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