9 零点存在的判定与证明 一、基础知识：
1、函数的零点：一般的，对于函数 y f x ，我们把方程 0 f x 的实数根0x 叫作函数 y f x 的零点。
2、零点存在性定理：如果函数 y f x 在区间 , a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 0 f a f b ，那么函数 y f x 在区间 , a b 内必有零点，即 0, x a b ，使得 00 f x
3、函数单调性对零点个数的影响：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调 4、几个“不一定”与“一定”（假设 f x 在区间 , a b 连续）
（1）若 0 f a f b ，则 f x “一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析 f x 的性质与图像，如果 f x 单调，则“一定”只有一个零点 （2）若 0 f a f b ，则 f x “不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果 f x单调，那么“一定”没有零点 （3）如果 f x 在区间 , a b 中存在零点，则 f a f b 的符号是“不确定”的，受函数性质与图像影响。如果 f x 单调，则 f a f b 一定小于 0 5、零点与单调性配合可确定函数的符号：
f x 是一个在 , a b 单增连续函数，0x x 是 f x 的零点，且 0, x a b ，则 0, x a x 时， 0 f x ； 0 ,x x b 时， 0 f x
6、判断函数单调性的方法：
（1）可直接判断的几个结论：
① 若 , f x g x 为增（减）函数，则 f x g x 也为增（减）函数 ② 若 f x 为增函数，则 f x 为减函数；同样，若 f x 为减函数，则 f x 为增函数 ③ 若 , f x g x 为增函数，且 , 0 f x g x ，则 f x g x 为增函数 （2）复合函数单调性：判断 y f g x 的单调性可分别判断 t g x 与 y f t 的单调性（注意要利用 x 的范围求出 t 的范围），若 t g x ， y f t 均为增函数或均为减函数，则 y f g x 单调递增；若 t g x ， y f t 一增一减，则 y f g x 单调递减（此规律可简记为“同增异减”）
（3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图像 7、证明零点存在的步骤：
（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数 （2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数 f x
（3）分析函数 f x 的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间 （4）利用零点存在性定理证明零点存在 例 1：函数 2 3xf x e x 的零点所在的一个区间是（
）
A.
1,02
B.
10,2
C. 1,12
D. 31,2
例 2：函数 ln 1 f x x x 的零点所在的大致区间是（
）
A.
31,2
B. 3,22
C. 2,e
D. , e
例 3 ：（ 2010 ， 浙 江 ）
已 知0x 是 函 数 121xf xx 的 一 个 零 点 ， 若 1 0 2 01, , , x x x x ，则（
）
A. 1 20, 0 f x f x
B. 1 20, 0 f x f x
C. 1 20, 0 f x f x
D. 1 20, 0 f x f x
例 4：已知函数 log 0, 1af x x x b a a ，当 2 3 4 a b 时，函数 f x 的零点 0, 1 , x n n n N ，则 n ________ 例 5 ：
定 义 方 程 "f x f x 的 实 数 根0x 叫 做 函 数 f x 的 “ 新 驻 点 ”， 若 3, ln 1 , 1 g x x h x x x x 的“新驻点”分别为 , , ，则（
）
A.
B.
C.
D.
例 6：若函数 ) (x f 的零点与 ln 2 8 g x x x 的零点之差的绝对值不超过 5 . 0 ， 则 ) (x f可以是（
）
A． 6 3 ) ( x x f
B．2) 4 ( ) ( x x f
C． 1 ) (1 xe x f
D． )25ln( ) ( x x f
例 7：设函数 22 4, ln 2 5xf x e x g x x x ，若实数 , a b 分别是 , f x g x 的零点，则（
）
A. 0 g a f b
B. 0 f b g a
C. 0 g a f b
D. 0 f b g a
例 8：已知定义在 1, 上的函数 ln 2 f x x x ，求证：
f x 存在唯一的零点，且零点属于 3,4
例 9：（2011 年，天津）已知 0 a ，函数 2ln f x x ax （ f x 的图像连续不断）
（1）求 f x 的单调区间 （ （2 ）当18a 时 ， 证明 ：
存在 02,+ x ， 使得 032f x f
例 10 ：
已 知 函 数 lnxf x e a x a ， 其 中 常 数 0 a ， 若 f x 有 两 个 零 点 1 2 1 2, 0 x x x x ，求证：1 211 x x aa
