宋九九
[摘 要] 几何动点图形问题是中考热点问题之一，常以动点为基础，形成一系列的关于线段、图形面积、特殊图形等问题，问题解析需要理解其中的运动规律，转化动点条件，构建几何模型，实现问题的简单直观化. 文章将一道动点形成的特殊三角形问题为例，进行方法指导、过程探究，并进行教学总结探讨.
[关键词] 动点;特殊三角形;建模;方法;微设计
幾何动点问题是初中数学动态问题类型，由动点形成的特殊图形问题在中考中十分常见，该问题通常由点动出发，形成了线动、形动等几何特征，以探究线段长、几何面积、特殊图形存在等问题形式考查学生的知识转化、逻辑分析、模型构造能力，以及动态几何观.
问题实例，方法指导
问题：如图1所示，在△ABC中，已知∠B=90°，AB=8 cm，BC=6 cm，点P和Q是△ABC边上的两个动点，其中点P的运动轨迹为从点A出发，沿着A→B方向运动，运动速度为1 cm/秒，点Q的运动轨迹为从点B出发，沿着B→C→A方向运动，运动速度为2 cm/秒. 它们同时出发，设出发的时间为t秒.
（1）当出发时间为2秒后，求PQ的长;
（2）分析从出发几秒钟后，△PQB可以第一次形成等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，试求可使△BCQ成为等腰三角形的运动时间.
方法指导：上述属于由动点引起的特殊图形问题，图像中含有双动点，点P和Q分别具有不同的运动轨迹，读题、审题是解题的前提，需要根据题干信息理解图像，把握以下几点：一是动点的轨迹，点P：A→B（1cm/秒），点Q：B→C→A（2cm/秒）;二是运动特点，本题目中是同时运动.
对于动点引起的特殊图形问题，解析的关键是构建数学模型，一般采用图2所示步骤，即第一步，参数表示，推导线段长;第二步，分类讨论，构建图像情景;第三步，构建数学模型，转化为数学方程;第四步，解题推结论，检验结果.
过程探究，问题解答
（1）该问求出发2秒后PQ的长，题目较为简单，实则考查学生对图像运动轨迹的理解，2秒钟后，点P和Q分别在AB和BC边上，则点P，Q和点B构成直角三角形，PQ为Rt△PBQ的斜边，利用勾股定理即可求出，具体如下.
由题意可知，2秒后BQ=4 cm，BP=AB-AP=6 cm，在Rt△PBQ中使用勾股定理，可得PQ=2 .
（2）该问探究△PQB第一次形成等腰三角形时的运动时间，实则考查学生初步建模能力. 分析图像可知由于∠B=90°，则为等腰三角形时有BP=BQ，即代入参数线段即可构建方程，从而求出时间，具体如下.
设出发时间为t秒，则有BQ=2t，BP=8-t，由BP=BQ可得2t=8-t，可解得t= ，即运动 秒后，△PQB可以第一次形成等腰三角形.
（3）该问探究点Q在边CA上运动时，可使△BCQ为等腰三角形的时间，问题中没有设定三角形的腰，则需要分三种情形讨论，可考虑构建模型，根据上述总结的模型方法来求解.
①当CQ=BQ时，此时有∠C=∠CBQ，根据条件可推知∠A=∠ABQ，故有BQ=AQ，所以CQ=AQ=5，BC+CQ=11，则t= =5.5秒，即运动5.5秒后，可形成CQ=BQ的等腰三角形;
②当CQ=BC时，则有BC+CQ=12，所以t= =6秒，即运动6秒后，可形成CQ=BC的等腰三角形;
③当BC=BQ时，可过点B作AC的垂线，设垂足为点E，则可推知BE= = ，所以CE= ，故CQ=2CE=7.2，所以BC=CQ=13.2，可得t= =6.6秒.
评析 上述是关于由动点引起的特殊三角形问题，问题分设三小问，分别求线段长、等腰三角形，以及探究等腰三角形存在性，整体上有一定的难度，属于几何探究题. 所涉三问有一定的引导作用，由浅入深、由易到难引导学生进行设参、建模、构形，如第1问引导学生设参推线段，第2问深入构建特殊模型，第3问则上升到利用等腰三角形的特殊性来分类讨论，数形结合解析转化模型. 整个解题过程也严格按照上述总结的解题方法，过程简明，条理清晰.
总结归纳，教学微设
动点几何问题属于类型问题，其解法具有一定的教学价值，实际教学中建议根据考题特点总结归纳解法，以考题为背景开展教学微设计，引导学生进行解题探究，培养学生的解题思维.
1. 总结归纳
求解动点几何问题的基本思路是：在变化中探求不变的性质，总结不变的几何规律，该思路同样适用于由动点引起的特殊三角形问题. 在求解动点构成的特殊三角形问题时，可采用如下步骤.
第一步，把握运动变化的形式，理解动点过程，结合动点的几何要素提取与动点位置、数量的关系，尽可能地求出相关量，如动点引出的线段长，如上述考题的第1问中求线段长.
第二步，确定具体图形中动点的位置，根据题意绘制特殊图形，实现问题的化动为静，如考题的第2问运动2秒后，动点位置固定，形成了直角三角形.
第三步，根据已知条件，将动点的移动距离转化为含有时间t的代数式，实现所需线段条件的参数化.
第四步，利用特殊图形的性质或相互关系，提取相应的等量关系，构建代数方程，求解问题，如上述第3问利用等腰三角形的腰长特性，构建等线段方程，求出了时间t的值.
2. 教学微设计
实际教学中不仅要总结解法，还应注意培养学生的解题思维，建议采用教学微设计的方式，逐步设问，让学生体验解题过程，感知方法与过程的融合，同时合理变式拓展学生思维.
环节（一）——条件呈现，信息提取
题设1：如图3所示，在△ABC中，已知∠B=90°，AB=8 cm，BC=6 cm.
题设2：点P和Q是△ABC边上的两个动点，其中点P的运动轨迹为从点A出发，沿着A→B方向运动，运动速度为1 cm/秒，点Q的运动轨迹为从点B出发，沿着B→C→A方向运动，运动速度为2 cm/秒.
教学引导：引导学生逐句读题，把握图形特征，理解点动过程，关注点动特点，教学中可引导学生直观呈现动点规律. 从三大题设条件出提取以下信息：①△ABC为直角形;②点动要素，P：A→B（1 cm/秒），点Q：B→C→A（2 cm/秒）;③两动点同时移动.
环节（二）——拾级而上，信息转化
设问1：若动点P和Q它们同时出发，设出发的时间为t秒，可以推导出哪些线段长？
设问2：当出发时间为2秒后，求PQ的长.
教学引导：引导学生利用物理上的“速度—时间—路程”公式，联系路程推导线段长，从而将动点条件转化为线段条件，即当点Q和P分别在BC和AB上运动时，则有AP=t，BQ=2t，进而可推知CQ=6-2t，BP=8-t. 后续设问2则引导学生初步构建模型，提取直角三角形，尝试用几何知识求解线段问题，初步体验数学建模的过程.
环节（三）——能力强化，数学建模
设问1：分析从出发几秒钟后，△PQB可以第一次形成等腰三角形？
设问2：点Q在边CA上运动时，试求可使△BCQ成为等腰三角形的运动时间.
设问引導：①当△PQB第一次形成等腰三角形时，可提取哪些等量条件？②当Q在边CA上运动时，若△BCQ成为等腰三角形，有哪几种情形，分别可提取哪些等量条件？③利用等量条件推导线段关系，可构建怎样的方程？
教学引导：教学中合理设问，逐步引导学生思考，让学生立足等腰三角形特性提取线段等量关系，进而构建方程，帮助学生总结“数学建模→性质提取→方程转化”的求解动点几何问题的策略.
环节（四）——拓展变式，思维提升
在教学最后有必要开展考题变式，利用变式问题来拓展学生思维，上述问题可进行如下深化变式.
变式问题：在图4的△ABC中，已知∠C=90°，AB=10 cm，BC=6 cm. 动点P从点C出发，按照C→A→B→C的路径运动，速度为1 cm/秒，出发时间设为t.
（1）运动2秒后，求△ABP的周长.
（2）求t为何值时，△BCP为等腰三角形.
（3）若另有一点Q，从点C出发，运动路径为C→B→A→C，速度为2 cm/秒，若两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也停止. 试求t为何值时，直线PQ将△ABC的周长分割为相等的两部分.
教学引导：上述为变式问题，教学中引导学生按照总结的方法理解题意，推导线段长，构建模型，化动为静. 其中的周长问题实则就是求线段长，对于其中的多点轨迹，可以特殊点为分类讨论的标准，逐步化繁为简.
写在最后
几何动点图形问题的解析过程较为复杂，所用的数学思想也较多，但按照一定的解题原则，合理利用方法策略，则可以把握问题的运动规律，化动为静，构建直观的数学模型，实现问题的简化解决. 而在日常教学中，应采用知识探究的方式，引导学生体验解题过程，注重方法总结、考题变式，让学生透视问题本质，把握问题特征，形成解题策略.
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