2019应届理科数学试卷—附完整答案

2019~2020学年度高三年级12月份月考 应届理科数学试卷 命题人：李大乐 审题人：
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1． （ ） A． B． C． D． 2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),且y=f(x+3)为偶函数，若f(x)在(0,3)内单调递减，则下面结论正确的是（ ） A．f(−4.5)<f(3.5)<f(12.5) B．f(3.5)<f(−4.5)<f(12.5) C．f(12.5)<f(3.5)<f(−4.5) D．f(3.5)<f(12.5)<f(−4.5) 3、已知两个等差数列的前项和分别为，且，则使得为整数的正整数的个数是（  ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则这个几何体的体积为（ ） 第4题图 第5题图 A．20cm3 B．24cm3 C． D． 5．已知函数的部分图象如图所示，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 6.的内角的对边分别为．若成等比数列，且，则( ) A． B． C． D． 7．不等式（其中）对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数在内单调递减，则的取值范围是(    ). A． B． C． D． 9．已知，，，则的最小值是（ ） A．2 B． C．3 D．4 10．平面内有三个向量，其中与夹角为120°，与的夹角为30°，且，若，（λ，μ∈R）则（ ） A．λ=4，μ=2 B． C． D． 11．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于 第10题图 第11题图 第12题图 A． B． C. D. 12.．如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（　　） A．（0，] B．（，2] C．（，2] D．（2，4] 二、填空题 13．已知函数，直线与的图象的相邻两个交点的横坐标分别是和，现有如下命题：
①该函数在上的值域是；

②在上，当且仅当时函数取最大值；

③该函数的最小正周期可以是；

④的图象可能过原点． 其中的真命题有__________．（写出所有真命题的序号） 14．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15. 求Sn_________ 15．数列中，，以后各项由公式给出，则等于_____. 16．已知，．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是__． 三、解答题 17．已知函数． （1）若函数的图象关于直线对称，且，求函数的单调递增区间；

（2）在（1）的条件下，当时，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围． 18．如图，在直角梯形中，，，且．现以为一边向梯形外作矩形，然后沿边将矩形翻折，使平面与平面垂直． （1）求证：平面；

（2）若点到平面的距离为，求三棱锥的体积． 19．．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值；

(2)x＋y的最小值． 20．在直角梯形PBCD中，A为PD的中点，如图．将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，且，如图． （Ⅰ）求证：SA⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求二面角E﹣AC﹣D的正切值． 21．已知以为首项的数列满足：（）. （1）当时，且，写出、；

（2）若数列（，）是公差为的等差数列，求的取值范围；

22已知函数f(x)＝λln x－e-x(λ∈R)． (1)若函数f(x)是单调函数，求λ的取值范围；

(2)求证：当0<x1<x2时， 2019~2020学年度高三年级12月份月考 应届数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B C B D C B C D C B A 13．④ 14． 15． 16． 17．.试题解析：
（1）函数 ，......................2分 ∵函数的图象关于直线对称， ∴，且，∴（），. 由解得（），.....................4分 函数的单调增区间为（）．.....................5分 （2）由（1）知， ∵，∴， ∴，即函数单调递增；

，即函数单调递减．.....................7分 又，∴当 或时，函数有且只有一个零点， 即或， ∴．............................................10分 18.（1）见解析；
（2）． 解析：（1）证明：在矩形中， 因为面面， 所以面，所以 又在直角梯形中，，，，所以， 在中，，，.........................................4分 所以：
所以：， 所以：面...................................................6分 （2）由（1）得：面面， 作于，则面 所以：.........................................8分 在中， 即：，解得 所以：........................................12分 19.解　(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x>0，y>0， 则1＝＋≥2＝，得xy≥64， 当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立．.........................................6分 (2)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝， 因为x>0，所以y>2， 则x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18， 当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12时等号成立．........................................12分 解法二：由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1， 则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当y＝6，x＝12时等号成立．.........................................12分 20.（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ） 【解析】 试题分析：（法一）（1）由题意可知，翻折后的图中SA⊥AB①，易证BC⊥SA②，由①②根据直线与平面垂直的判定定理可得SA⊥平面ABCD；
.........................................4分 （2）（三垂线法）由考虑在AD上取一点O，使得 ，从而可得EO∥SA，所以EO⊥平面ABCD，过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，∠EHO为二面角E﹣AC﹣D的平面角，在Rt△AHO中求解即可 （法二：空间向量法） （1）同法一 （2）以A为原点建立直角坐标系，易知平面ACD的法向为，求平面EAC的法向量，代入公式求解即可 解法一：（1）证明：在题平面图形中，由题意可知，BA⊥PD，ABCD为正方形， 所以在翻折后的图中，SA⊥AB，SA=2，四边形ABCD是边长为2的正方形， 因为SB⊥BC，AB⊥BC，SB∩AB=B 所以BC⊥平面SAB， 又SA⊂平面SAB， 所以BC⊥SA， 又SA⊥AB，BC∩AB=B 所以SA⊥平面ABCD， （2）在AD上取一点O，使，连接EO 因为，所以EO∥SA 因为SA⊥平面ABCD， 所以EO⊥平面ABCD， 过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH， 则AC⊥平面EOH， 所以AC⊥EH． 所以∠EHO为二面角E﹣AC﹣D的平面角，． 在Rt△AHO中， ∴， 即二面角E﹣AC﹣D的正切值为.........................................12分 解法二：（1）同方法一 （2）解：如图，以A为原点建立直角坐标系，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S（0，0，2），E（0，） ∴平面ACD的法向为.........................................6分 设平面EAC的法向量为=（x，y，z）， 由， 所以，可取 所以=（2，﹣2，1）．.........................................9分 所以 所以 即二面角E﹣AC﹣D的正切值为.........................................12分 21.（1），；
（2） 【解析】(1)因为以为首项的数列满足：，，， 所以，所以；
由得；
...........4分 (2)因为数列（，）是公差为的等差数列， 所以，所以，.......................6分 所以，所以， 所以， .........................................8分 故，所以， 因为， .........................................10分 所以由题意只需：，故..........................................12分 22.解　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， ∵f(x)＝λln x－e-x，∴f′(x)＝＋e－x＝， ∵函数f(x)是单调函数，∴f′(x)≤0或f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，....2分 ①当函数f(x)是单调递减函数时，f′(x)≤0， ∴≤0，即λ＋xe－x≤0，λ≤－xe－x＝－， 令φ(x)＝－，则φ′(x)＝， 当0<x<1时，φ′(x)<0，当x>1时，φ′(x)>0， 则φ(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴当x>0时，φ(x)min＝φ(1)＝－，∴λ≤－；
.........................................4分 ②当函数f(x)是单调递增函数时，f′(x)≥0， ∴≥0，即λ＋xe－x≥0，λ≥－xe－x＝－， 由①得φ(x)＝－在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，x→＋∞时，φ(x)<0，∴λ≥0. 综上，λ≤－或λ≥0..........................................6分 (2)证明：由(1)可知，当λ＝－时，f(x)＝－ln x－e－x在(0，＋∞)上单调递减，∵0<x1<x2，∴f(x1)>f(x2)，即－ln x1－e-x1>－ln x2－e-x2， ∴e-x2－e-x1>ln x1－ln x2. 要证e1-x2－e1-x1>1－.只需证ln x1－ln x2>1－，即证ln >1－， 令t＝，t∈(0,1)，则只需证ln t>1－，.........................................10分 令h(t)＝ln t＋－1，则当0<t<1时，h′(t)＝<0， ∴h(t)在(0,1)上单调递减，又h(1)＝0，∴h(t)>0，即ln t>1－，得证．...................12分

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