第一篇：怎么证明平行四边形
怎么证明平行四边形
在平行四边形abcd中，ae，cf，分别是∠dab、∠bcd的平分线，e、f点分别在dc、ab上，求证：四边形afce是平行四边形
证明：∵四边形abcd为平行四边形;
∴dc‖ab;
∴∠eaf=∠dea
∵ae，cf，分别是∠dab、∠bcd的平分线;
∴∠dae=∠eaf;∠ecf=∠bcf;
∴∠eaf=∠cfb;
∴ae‖cf;
∵ec‖af
∴四边形afce是平行四边形
1两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4对角线互相平分的四边形是平行四边形5两组对角分别相等的四边形是平行四边形
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形4、对角线互相平分的四边形是平行四边形
2
1.画个圆，里面画个矩形2.假设圆里面的是平行四边形3.因为对边平行，所以4个角相等4.平行四边四个角之和等于360，5.360除以4等于906.所以圆内平行四边形为矩形..
3判定(前提：在同一平面内)(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(3)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形(5)两组对角分别相等的四边形为平行四边形(注：仅以上五条为平行四边形的判定定理，并非所有真命题都为判定定理，希望各位读者不要随意更改。)(第五条对，如果对角相等，那么邻角之和的二倍等于360°，那么邻角之和等与180°，那么对边平行，(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)所以这个四边形是平行四边形)编辑本段性质(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。)(1)平行四边形对边平行且相等。(2)平行四边形两条对角线互相平分。(3)平行四边形的对角相等，两邻角互补。(4)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论)(5)平行四边形的面积等于底和高的积。(可视为矩形)(6)过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。(7)对称中心是两对角线的交点。
1两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4对角线互相平分的四边形是平行四边形5两组对角分别相等的四边形是平行四边形
第二篇：证明平行四边形
证明平行四边形
如图，分别以rt△abc的直角边ac及斜边ab向外作等边△acd、等边△abe。已知∠bac=30º，ef⊥ab，垂足为f，连结df。
求证：四边形adfe是平行四边形。
设bc=a,则依题意可得：ab=2a,ac=√3a,
等边△abe,ef⊥ab=>af=1/2ab=a,ae=2a,ef=√3a
∵∠daf=∠dac+∠cab=60°+30°=90°,ad=ac=√3a,∴df=√(ad²+af²)=2a
∴ae=df=2a,ef=ad=√3a=>四边形adfe是平行四边形
1两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4对角线互相平分的四边形是平行四边形5两组对角分别相等的四边形是平行四边形
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形4、对角线互相平分的四边形是平行四边形
2
1.画个圆，里面画个矩形2.假设圆里面的是平行四边形3.因为对边平行，所以4个角相等4.平行四边四个角之和等于360，5.360除以4等于906.所以圆内平行四边形为矩形..
3判定(前提：在同一平面内)(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(3)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形(5)两组对角分别相等的四边形为平行四边形(注：仅以上五条为平行四边形的判定定理，并非所有真命题都为判定定理，希望各位读者不要随意更改。)(第五条对，如果对角相等，那么邻角之和的二倍等于360°，那么邻角之和等与180°，那么对边平行，(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)所以这个四边形是平行四边形)编辑本段性质(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。)(1)平行四边形对边平行且相等。(2)平行四边形两条对角线互相平分。(3)平行四边形的对角相等，两邻角互补。(4)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论)(5)平行四边形的面积等于底和高的积。(可视为矩形)(6)过平行四(收藏好 范 文，请便下次访问WWW.hAoword.coM)边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。(7)对称中心是两对角线的交点。
性质9(8)矩形菱形是轴对称图形。(9)平行四边形abcd中(如图)e为ab的中点，则ac和de互相三等分，一般地，若e为ab上靠近a的n等分点，则ac和de互相(n+1)等分。*注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形。(10)平行四边形abcd中，ac、bd是平行四边形abcd的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和。(11)平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。(12)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形。(13)平行四边形中，两条在不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。(14)平行四边形中,一个角的顶点向他对角的两边所做的高，与这个角的两边组成的夹角相等。编辑本段平行四边形中常用辅助线的添法一、连接对角线或平移对角线。二、过顶点作对边的垂线构成直角三角形。三、连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构成线段平行或中位线。四、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造相似三角形或等积三角形。五、过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。编辑本段面积与周长1、(1)平行四边形的面积公式：底×高(推导方法如图);如用“h”表示高，“a”表示底，“s”表示平行四边形面积，则s平行四边=ah(2)平行四边形的面积等于两组邻边的积乘以夹角的正弦值;如用“a”“b”表示两组邻边长，@表示两边的夹角，“s”表示平行四边形的面积，则s平行四边形=ab*sin@2、平行四边形周长可以二乘(底1+底2);如用“a”表示底1，“b”表示底2，“c平”表示平行四边形周长，则平行四边的周长c=2(a+b)底×1x高
第三篇：证明平行四边形
证明（三）平行四边形导纲
一、引入：
平行四边形的定义：
a
平行四边形定义的应用：b⑴∵ab∥cd，ad∥bc
∴四边形abcd是⑵∵四边形abcd是平行四边形 ∴二、自主探究：
证明：平行四边形的对边相等，对角相等。已知：
□abcd（如图）
求证:ab=cd,bc=da;∠b=∠d,∠bad=∠dcb 证明：∵四边形abcd是平行四边形
∴
d
ab
d
三、性质应用：
1 .在□abcd中，已知∠a =32。，求其余三个角的度数 解：∵四边形abcd是平行四边形∴
d
2. 已知在□ abcd中ab=6cm,bc=4cm,求□ abcd 的周长。解：∵四边形abcd是平行四边形∴
3.连结ac，已知□abcd的周长等于20 cm， ac=7 cm，求△abc的周长。
c
b
a
四、小组合作探究：
证明：平行四边形的对角线互相平分
五．总结性质：
a d
d
b
c
六、巩固练习：
1.已知o是□ abcd的对角线交点，ac=10cm，bd=18cm
，ad=?12cm，则△boc?的周长是_______
2. 如图所示，平行四边形abcd的对角线相交于o点，且ab≠bc，过o点作oe⊥ac，交bc于e，如果△abe的周长为b，则平行四边形abcd的周长是（）。
a. b b. 1.5bc. 2bd. 3b
ad
bec
七、学以致用：
证明:夹在两条平行线间的平行线段相等。
八、巩固练习：
1、已知：如图平行四边形abcd，e,f是直线bd上的两点，且∠e= ∠f。求证：ae=cfc
2、已知：如图，□abcd的对角线ac，bd相交于点o,过点o的直线与ad,bc分别相交
于点e,f. d 求证:oe=of.
b
f
九、自我检测：
1.在□abcd中，∠a= 50 ?，则∠°
2.如果□abcd中，∠a+∠c=240°，则∠°
3.如果□abcd的周长为28cm，且ab：bc=2∶5，那么，cm， cm，．
3、已知:如图,ac,bd是□abcd的两条对角线,且ae⊥bd,cf⊥bd,垂足分别为e,f,
求证:ae=cf.
b
十、能力提高：
4、已知:在□abcd中,点e,f在对角线ac上,且af=ce.
d
线段be与df之间有什么关系?请证明你的结论.
a
若去掉题设中的af=ce,请添加一个条件使be与df有以上同样的性质. b
第四篇：命题与证明 平行四边形 教案
《命题与证明》
1、 定义（一般地，能清楚地规定某一名称或术语意义的句子叫做该名称或术语的定义）
2、 命题（一般地，判断一件事情的句子叫做命题）命题是一个“判断句”，判断“是”或“非”．其中正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题，如“对顶角相等”是真命题，“相等的角是对顶角”是假命题.注意：(1)命题是语句，而且必须是能判断正确和错误的句子． (2)错误的命题也是命题．
过直线外一点做一条直线与已知直线垂直。
过直线外一点做一条直线，要么与已知直线相交，要么与已知直线平行。
3、每个命题是由条件（题设）和结论（题断）两部分组成．条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，命题常写成“如果……那么……”的形式．一般形式是“如果p，那么q”，其中用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论．（判断清楚哪些是条件，哪些是结论）
写成“如果，那么”的形式
①在同一个三角形中 等角对等边
②角平分线上的点到角两边的距离相等
③同角的余角相等
3、 公理、定理、推论
人们在长期实践中检验所得的真命题，并作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做公理．如“过两点有且只有一条直线”；
“两点之间，线段最短”等等．有些命题的正确性是通过推理证实的，并被选定作为判定其它命题真假的依据，这样的真命题叫定理．由公理、定理直接得出的真命题叫做推论． 如 三角形内角和定理三角形的内角和等于180°．
推论1 直角三角形的两锐角互余．
推论2 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
推论3 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．
4、 证明真命题的方法
根据题设、定义、公理、定理等，经过逻辑推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫证明.证明一个真命题一般按以下步骤进行：
（1）审题，分清命题的条件与结论.
（2）画图，依题意画出图形，画图时应做到图形正确且具有一般性，切忌将图形特殊化.
（3）写“已知”“求证”，按照图形，分析、探求解题思路，然后写出证明过程，证明的每一步都要做到叙述清楚，而且要有理有据.
5、 证明假命题的方法
证明一个命题是假命题，只需举一个“反例”即可，也就是举出一个符合命题的条件而不符合结论的例子. 用反证证明下列命题是假命题
有一条边、两个角相等的两个三角形全等
任何三条线段都能组成三角形
6、 重难点及归纳
①命题的理解：本节的一个难点是找出一个命题的题设和结论，它是后面证明中，书写已知求证的基础，对那些条件结论不明显的命题．应在学习中多练，必要时结合图形来区分．例如命题“如果两条直线和
第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，其中“两条直线和第三条直线平行”是条件，“这两条直线也平行”是结论．再如命题，“对顶角相等”，它的条件和结论不明显，应将它改成“如果两个角为对顶角，那么这两个角相等”，再指出条件和结论．
②定义、命题、公理和定理之间的联系与区别
这四者都是句子，都可以判断真假，即定义、公理和定理也是命题，不同的是定义、公理和定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过公理是最原始的依据，而命题不一定是真命题，因而它不一定能作为进一步判断其他命题真假的依据．
③证明真命题的方法和步骤，难点是分析证明思路，有条理地写出推理过程．
④三角形内角和定理的三个推论常用来求角的大小和进行角的比较．
7、 证明的思路：
①从已知出发，推出可能的结果，并与要证明的结论比较，直至推出最后的结果。②从
要证明的结论出发，探索要使结论成立，需要什么条件，并与已知条件对照，直到找到所需要的并且是已知的条件。
探索证明：在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于60度
9、用反证法（证明的思路如何，苦李子的故事）
用反证法证明命题，一般有三个步骤：
反设 假设命题的结论不成立（即假设命题结论的反面成立）
归谬 推出矛盾（和已知或学过的定义、定理、公理相矛盾，或者与假设所推出的任何一个已知相矛盾） 结论 从而得出命题结论正确。
例如用反证法证明：
在同一个平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于60度
例1两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两直线平行
已知：如图∠1＝∠2a1b
求证：ab∥cd
证明：设ab与cd不平行c2d
那么它们必相交，设交点为md
这时，∠1是△ghm的外角a1
∴∠1＞∠2g这与已知条件相矛盾2
∴ab与cd不平行的假设不能成立h
∴ab∥cdc
例2.求证两条直线相交只有一个交点
证明：假设两条直线相交有两个交点，那么这两条直线都经过相同的两个点，这与“经过两点有且只有一条直线”的直线公理相矛盾，所以假设不能成立，因此两条直线相交只有一个交点。
（从以上两例看出，证明中的三个步骤，最关键的是第二步——推出矛盾。但有的题目，第一步“反设”也要认真对待）。
例3.已知：m2是3的倍数，求证：m 也是3的倍数
例4.求证：2不是有理数
《平行四边形》
1、 四边形的定义
2、 定理：四边形的内角和等于360度
推论：四边形的外角和等于360度
n边形的内角和外角和（为什么）
正五边形能镶嵌平面吗（为什么）
单独和镶嵌平面的正多边形有哪几种？为什么只有这几种？
（2014浙江省，8，3分）如图，在五边形abcde中，∠bae=120°, ∠b=∠e=90°，ab=bc，ae=de，在bc，de上分别找一点m,n，使得△amn的周长最小时，则∠amn+∠anm的度数为（）（如何作辅助线，培养感觉）
a. 100°b．110°c. 120°d. 130°
3、 平行四边形的定义性质
定理：平行四边形的对角相等
定理1：平行四边形的两组对边分别相等。
推论1：夹在两条平行线间的平行线段相等。
推论1：夹在两条平行线间的垂线段相等。
定理2：平行四边形的对角线互相平分。
4、 中心对称图形定义 对称中心
性质：对称中心平分两个对称点的线段。（在平面直角坐标系中，点（x，y）关于原点对称的点的坐标是多少？为什么？）
5、 平行四边形的判定
①定义②定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形③定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形④定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
6、三角形的中位线定理（如何证明？）
7、逆命题与逆定理
两个命题，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
每个命题都有逆命题。每个定理都有逆命题。如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理。
因此，每个命题有逆命题；
每个定理有逆命题，但不一定有逆定理。
1. （2014浙江金华，15，4分）如图，在□abcd中，ab＝3，ad＝4，∠abc＝60°，过bc的中点e作ef⊥ab，垂足为点f，与dc的延长线相交于点h，则△def的面积是
.
3. （2014四川成都，20,10分） 如图，已知线段ab∥cd，ad与bc相交于点k，e是线段ad上一动点.
5cd1
(1)若bk=2kc，求ab的值；
(2)连接be，若be平分∠abc，则当ae=2ad时，猜想线段ab、
bc、cd三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明．再探究：当ae=nad (n?2)，而其余条件不变时，线段ab、bc、cd三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论，不必证明．
6、如图，已知△abc中，?abc?45， f是高ad和be的交点，cd?4，则线段df的长度为（）.
a
．b． 4c
．d
．
?
第五篇：命题与证明 平行四边形练习
典型例题剖析
例1、将下列各句改写成“如果……，那么……”的形式．
（1）对顶角相等；
（2）等角的余角相等；
（3）垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
（4）同旁内角互补，两直线平行；
分析：
省略掉词语的命题通常采取仔细分析，把省略掉的词语重新补上，或根据命题画出准确图形，再根据图形，把命题完整写出来，根据这些方法研究，我们便可着手改写了．
解：
（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；
（2）如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等；
（3）如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行；
（4）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；
例2、指出下列命题的条件部分和结论部分
（1）直角都相等；
（2）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直；
（3）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短；
（4）大于90°而小于180°的角是钝角；
（5）两个角的和等于平角时，这两个角互为补角．
分析：
解答这类问题，必须弄清命题由哪两部分组成，进一步弄明白条件与结论所表示的意思．便可找出条件与结论．对省略掉词语的命题应先设法补上，再着手找题设与结论．命题的条件与结论不好用文字叙述时，要用符号写出条件和结论，但必须说明符号所表示的意义．
解：（1）条件：两个角都是直角；
结论：这两个角相等．
（2）条件：互为邻补角的两个角的两条平分线；
结论：这两条角平分线互相垂直．
（3）条件：直线外一点与直线上各点连结的所有线段；
结论：垂线段最短．
（4）条件：90°＜∠
结论：∠＜180°；
是钝角．
（5）条件：两个角的和等于平角；
结论：这两个角互补．
例3、判断下列命题的真假，如果是假命题，请说明理由．
（1）两点之间，线段最短．
（2）如果一个数的平方是9，那么这个数是3．
（3）同旁内角互补．
（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
（5）如果a＋b=0，那么a=0，b=0．
（6）两个锐角的和是锐角．
分析：
要判定一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例）即可．于是以上各题真假便眉目分明了． 解：
（1）真命题，这是关于线段的一个公理．
（2）假命题，因为一个数的平方是9，这个数也可能是－3．
（3）假命题，任意二条直线被第三条直线所截，都有同旁内角产生，只有两条平行线被第三直线所截，才有同旁内角互补的结论．
（4）假命题，如果这个点在已知直线上，就无法作出一条直线与已知直线平行．
（5）假命题，如果a=2，b=－2，2＋(－2)=0，但a＝2≠0，b=－2≠0．
（6）假命题，如60°和50°的角都是锐角，但它们的和是钝角．
例4、区分下列语句中，哪些是定义，哪些是公理，哪些是定理：
（1）经过两点有一条直线，并且只有一条直线；
（2）两点之间，线段最短；
（3）有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；
（4）对顶角相等；
（5）垂线段最短．
分析：
只要理解定义，公理，定理的意义，便可一一区分谁是定义，谁是公理，谁是定理．
解：(1)、(2)是公理；
(3)是定义；
(4)、(5)是定理．
例5、完成以下证明，并在括号内填写理由：
已知：如图所示，∠1=∠2，∠a=∠3.
求证：ac∥de.
例6、如下图，∠acd是△abc的外角，be平分∠abc，ce平分∠acd，且be、ce交于点e
．求证：
．
例7、如图，ce是△abc的外角∠acm的平分线，ce交ba的延长线于点e，试说明∠bac＞∠b成立的理由
.
例8、已知：如图ad为∠abc的角平分线 e为bc的中点过e作ef∥ ad，交ab于m，交ca延长线于f。
cn∥ ab交fe的延长线于n。
求证：
bm=cf
例9、求证：没有一个有理数的平方等于3
例10、求证：三角形的三条边的垂直平分线交于一点
例11、求证：等腰三角形的底角是锐角
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