【椭圆】
一、椭圆的定义
1、椭圆的第一定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数 ，这个动点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。
注意：若，则动点的轨迹为线段；
若，则动点的轨迹无图形。
二、椭圆的方程
1、椭圆的标准方程（端点为a、b，焦点为c）
（1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
（2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
2、两种标准方程可用一般形式表示：
或者
mx2+ny2=1
三、椭圆的性质（以为例）
1、对称性：
对于椭圆标准方程：是以轴、轴为对称轴的轴对称图形；并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
2、范围：
椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，。
3、顶点：
①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，，，。
③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，，。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4、离心率：
① 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。
② 因为，所以的取值范围是。越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。
当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。
③ 离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。
注意：椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：
5、椭圆的第二定义：
平面内与一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离的比为常数e，（0＜e＜1）的点的轨迹为椭圆（）。
即：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形，也即上图中有
。
①焦点在x轴上：（a＞b＞0）准线方程：
②焦点在y轴上：（a＞b＞0）准线方程：
6、椭圆的内外部
（1）点在椭圆的内部
（2）点在椭圆的外部
四、椭圆的两个标准方程的区别和联系
标准方程
图形
性质
焦点
，
，
焦距
范围
，
，
对称性
关于轴、轴和原点对称
顶点
，
，
轴长
长轴长=，短轴长=
离心率
准线方程
焦半径
，
，
五、其他结论
1、若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是
2、若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是
3、椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为
4、椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：,( , )
5、设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF。
6、过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF。
7、AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。
8、若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是
9、若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是
10、点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角
11、PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点
12、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离
13、以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切
