【摘要】追求有宽度的课堂，教师应注重学科知识之间的内在联系，注重学科之间的融合，注重将教学内容从课内向课外延伸，注重线上优质教学资源与线下课堂教学的融合，创设丰富、有趣的问题情境，引导学生不断激发潜能，体会数学的趣味性、学法的多样性和应用的广泛性。
【关键词】有机融合;适度延伸;有宽度的课堂
什么是宽度？《现代汉语词典（第7版）》的解释是：宽窄的程度;横的距离（长方形多指两条长边之间的距离）。而追求有宽度的课堂，笔者认为不仅是对数学学科知识层面和范围的拓宽，更是对数学课程标准规定范围和学生可接受程度知识的适度拓展，以及学科知识之间的有机融合。此外，教师还要善于利用线上教学资源，拓宽学生获取知识的渠道，引导学生把课内的共同学习延伸至课外的主动探究[1]。
一、注重知识之间的内在联系，把握知识的宽度
几何学家伍鸿熙教授提出数学的五个基本原则：（1）每个数学概念必须精确定义，而定义构成逻辑推理的基础;（2）数学表述要精确，在任何时候，哪些已知哪些未知都要很清楚;（3）每一个结论都是逻辑推理的结果，推理是数学的命脉，是解决问题的平台;（4）数学是连贯的，数学的概念和方法组成了一个逻辑严密的整体;（5）数学是目标明确的，每个数学概念和方法都有其目的。章建跃博士指出，以上这五个原则可以作为判断数学课是否教数学的基本标准。笔者认为第（4）个原则恰恰说明，明晰数学知识的内在联系对学生整体把握数学概念和方法是至关重要的。数学教学必须注重数学的整体性，这是由数学的学科特点决定的。这种整体性，既体现在数学概念及其反映的数学思想方法上，又体现在各部分内容的有机联系上。从教的角度说，教师只有把握好整体性，才能精准把握教学目标，把数学教得本质而自然，教学行为才能“准”“精”“简”，从而充分发挥数学的育人功能;从学的角度看，注重整体性，才能了解知识的源头、发展和去向，掌握不同内容的联系性，学生既学到“好数学”，又学得兴趣盎然[2]，从而体会数学知识的真正宽度。现笔者以人教版数学七年级上册“有理数的混合运算”的教學为例进行说明。
有理数的混合运算是有理数知识系统的重要内容，是有理数运算学习要求最终落实的关键。它既是小学数学四则混合运算的延伸，又是实数混合运算的基础，更是学生今后学习代数式、方程、不等式和函数等代数内容的运算基础。而教材关于有理数的混合运算的编写是非常简洁的，即教材首先呈现了有理数的混合运算顺序，然后出示一道解题过程很简单的例题和两道有理数的混合运算题。基于有理数的混合运算的重要作用，笔者认为教师应根据学生的实际合理地选编和处理教材，用适当的方式和方法引导学生去经历知识发生、发展的过程，领悟运算的本质。因此，笔者先以学生熟悉的“24点”游戏引入，即“请用加、减、乘、除中的若干种运算（可用括号）将4个自然数：3、4、5、6列成一个算式，使得计算结果恰好等于24”。然后通过“自然数版24点”游戏让学生回顾小学加减乘除四则混合运算法则，接着通过变式得到的“有理数版24点”游戏引入新课。教师引导学生通过引例去经历有理数混合运算法则的产生过程，并通过寻找和比较有理数混合运算的顺序与整数四则混合运算的顺序的联系和区别去理解有理数混合运算法则的合理性、连贯性，彰显有理数混合运算和整数四则混合运算的内在联系，充分体现了学生的主体性和教师的主导作用。
追求有宽度的课堂，要求教师不能只是照本宣科，而是要把知识教“活”，把解题方法教“活”，让学生能举一反三，触类旁通。教师要想把知识教“活”，关键不在于形式上是否按教材的顺序和内容讲授，而是必须吃透教材，弄清数学知识和方法的来龙去脉，理解知识的本质，了解知识发生、发展的过程，根据学生的实际合理地选编和处理教材。比如，可以引导学生去分析思考新知与旧知有何关联，探究发现如何通过旧知引入新知，由未知索求已知;或是由此及彼，由表及里，由浅入深，从而在问题解决中揭示知识之间的内在联系，把握知识的宽度。
二、加强学科知识之间的融合，拓宽知识的维度
数学的许多内容与其他学科知识有着密切的联系，其他学科的知识应成为呈现学生学习数学内容的现实素材。苏联心理学家克鲁切茨基曾指出，科学发展的特点是更倾向于数学化，这不仅适用于物理学、天文学和化学，还适用于像近代生物学、考古学、医学、气象学、经济学、设计规划、语言学以及其他有关科学。数学的方法和思考方式已经渗透到各个方面，很难找到有哪个知识领域和数学完全无关。正如数学家柯尔莫哥洛夫所说的，原则上，数学应用的领域是无限的。
“实际问题与二次函数”是人教版数学九年级上册（以下统称“教材”）第二十二章第三节的内容。教学伊始，教师首先引导学生复习利用二次函数解决实际问题的一般思路：建立平面直角坐标系—找出点的坐标—求出抛物线的解析式—求出点的坐标（解决实际问题），然后创设情境引入新课。
问题1：如图1，一名篮球运动员在距离篮圈中心4 m（水平距离）处跳起投篮，篮球准确落入篮圈。已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行的水平距离为2.5 m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5 m。如果篮圈中心距离地面3.05 m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少？
首先，教师引导学生认真审题，在图中标出相应的数据，分析题目中所蕴含的信息量。
学生小组讨论交流：你知道哪些有效的信息;如何解决实际问题，你有什么方法吗？
然后，教师引导学生利用“建立平面直角坐标系—求出抛物线的解析式—求点的坐标”的思路解决该实际问题。
在学生求出篮球距离地面的高度后，教师继续引导学生分析篮球距离地面的高度与哪些有关，引出以下问题。
问题2：该运动员的身高为1.7 m，跳投中，球在头顶上方0.25 m处出手，问球出手时，他距离地面的高度是多少？
教师提示学生运动员距离地面的高度也就是运动员跳起的高度。
教师小结：运动员投篮是否命中，与运动员的身高、跳起的高度，以及与篮圈中心（水平距离）的远近都有关系。
变式：在一场篮球比赛中，小明跳起投篮，如图2，已知球出手时离地面高（20/9） m，与篮圈中心的水平距离为8 m，当球出手后水平距离为4 m时到达最大高度4 m，设篮球运动的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3 m。问此球能否投中？
学生独立思考后，小组合作交流。学生得出简单的结论后，教师再辅助动画演示，以直观形象的方式帮助理解有困难的学生。
本节课以篮球运动为背景，融合二次函数求解析式的问题，并有机渗透运用函数解决实际问题的建模思想。对学生来说，本节课的问题虽然有一定的难度，但在实际教学中，笔者发现学生学得津津有味，学习的热情高涨。笔者认为，这也是源于问题的背景材料引起了学生强烈的探究欲望和学习兴趣。近代分科教学让学科之间相互割裂，无法让学生形成更加全面、整体性的认识。为了弥补分科教学的缺陷，在教学中，教师应注重学科知识的融合，尤其是在学科知识的应用中融合。为了帮助学生真正理解数学知识，教师应注重数学知识与学生生活经验的联系、与学生学科知识的联系，多组织学生开展实验、操作和尝试等活动，引导学生进行观察、分析和抽象概括，体会数学应用的广泛性。
三、注重课内学习向课外延伸，拓展学习的空间
义务教育阶段的教师要有教学质量的“保底”意识。其意思是下要“保底”，但上不“封顶”。例如对于大多数学生而言，在日常教学中，教师应根据数学课程标准规定的要求组织教学，必须为学生，尤其是学习有困难的学生打下走向未来的必备学科知识基础，这就是“保底”。但对于学习成绩优秀的学生，尤其是一些智力超常的学生，教师应不失时机地结合课内教学内容适度向课外延伸，通过成立数学课外活动小组等形式，尽可能满足他们对数学学习的个性化需求，激励他们不断去攀登自己的数学“小高峰”。
笔者认为每一所学校，每一门学科，尤其是数学学科应指导学生成立数学课外活动小组。组织数学课外活动小组并开展数学研究活动，这不仅有利于促进学生课内学习向课外学习延伸，更有利于提高课内数学教学质量，发现和培养数学人才。当然活动的有效性主要取决于活动内容或课题的选择、活动的方式以及教师的水平。有经验的教师，经常会在课内教学的结尾提出一些富有挑战性的问题，引导学生带着问题走出课堂，让学生体会数学学习的挑战性。比如在学完一元一次方程、二元一次方程组之后，教师可以将不定方程作为学生课外研究的内容，并研究诸如《孙子算经》中的问题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？”研究这些内容后，既可以深化课内学习内容，又扩展了学生的认识领域。又比如可以为有需要的学生补充用十字相乘法、添项法、拆项法进行因式分解;利用数学课外活动小组，在课内学习三角形的内容之后继续研究梅涅劳斯定理及其逆定理、塞洼定理等;在学习圆的内接四边形内容后，还可以研究托勒密定理;在学习了解直角三角形内容后，还可以研究正弦定理和余弦定理;等等。追求有宽度的课堂，应注重课内学习向课外延伸，教师应为学生向更高层次的发展提供必要的启示、指导[3]。
四、加强线上线下教学的融合，拓宽教学的空间
随着科技和时代的进步，教育的方式也在发生变化。教室、学校已不再是学习的唯一场所，互联网为教育教学提供了多元可能。如何将线上教学资源和线下课堂教学有机融合必定成为教师教学改革的方向。比如，如何将城市优质的教育资源与乡村教育资源共享以缩小城乡教育的差距;城市优质的线上教学与乡村线下教学如何有机融合;学校日常教学一般以线下教学为主，但在2020年新冠肺炎疫情等特殊时期，教师开展个性化辅导或组织学科教学辅导时，如何采用线上教学与线下检查相结合的方式;等等。教育部基础教育课程教材发展中心刘月霞副主任指出，当死记硬背所获得的知识“百度”一下即知即得时，学生应该学什么、怎么学的焦虑感逐渐上升。世界改变了，我们的学校却被卡在过去的某个时间点上，停滞不前[4]。未来已来，大势所趋，教师只有既注重日常线上教学资源的开发和运用，又注重线下教学方法的改进和提升，不断拓宽教学的空间，方能成为一名专业而优秀的教师。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“数学课程标准”）指出，数学素养是现代社会每一个公民都应该具备的基本素养。作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力不可替代的作用[5]。数学课程标准规定的数学知识和能力要求是全体适龄儿童都必须达到的基本要求。如果学不好数学，或者不学数学，学生的知识结构就不完整，思维发展就会存在某种缺陷。因此，教师应注重学科知识的融合和学习空间的拓展，尽量创设丰富、有趣的问题情境，让学生体会学好数学的必要性及数学应用的广泛性。数学教师应当以发展学生数学学科核心素养为目标，适度拓展知识和能力要求，并善于将学生的思维引向课外、引向更高的层次，引导学生去挑战自己的数学才能[6]。
追求有宽度的课堂，应做到注重学科知识之间的内在联系，注重学科之间的融合，注重将教学内容从课内向课外延伸，注重线上优质教学资源与线下课堂教学的融合;呈现的教学素材应贴近学生现实，创设丰富、有趣的问题情境，让学生用问题导学，带着更高层次的问题走出课堂，引导学生不断地去挑战自我，激发潜能，体会数学的趣味性、学法的多样性和应用的广泛性。
参考文献：
[1]戴启猛.基于初中数学“四度六步”教学法的理论基础与实践架构[J].中小学课堂教学研究，2020（3）：22-26，39.
[2]章建跃.章建跃数学教育随想录[M].杭州：浙江教育出版社，2017.
[3]郑毓信.数学·哲学·教育：我的“跨界”教育人生[J].中小学课堂教学研究，2019（4）：58-66.
[4]刘月霞，郭华.深度学习：走向核心素养[M].北京：教育科学出版社，2018.
[5]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[6]戴启猛.创造更加精彩的课堂：初中数学“四度六步”教学法的20年实践与探索[J].广西教育，2020（5）：15-19.
（责任编辑：陆顺演）
【作者简介】戴启猛，南宁市教育科学研究所所长，正高级教师，广西特级教师，广西八桂教育家摇篮工程学员，廣西师范大学教育学部特聘研究员。
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