78版,普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案

1978年普通高等学校招生全国统一考试 数学 （理科考生五，六两题选做一题文科考生五，六两题选做一题，不要求做第七题） 一．（下列各题每题4分，五个题共20分） 1．分解因式：x2-4xy+4y2-4z2. 解：原式=（x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z) 2.已知正方形的边长为，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积 解：设底面半径为r，则底面周长2πr= 则 3．求函数的定义域 解：
∵lg(2+x)≥0,∴2+x≥1.故x≥-1为其定义域 4．不查表求cos800cos350+cos100cos550的值 解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450= 5.化简：
二 .（本题满分14分） 已知方程kx2+y2=4，其中k为实数对于不同范围的k值，分别指出方程所代表图形的内形，并画出显示其数量特征的草图 解：1）k>0时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①k>1时,长轴在y轴上，半长轴=2，半短轴=; ②k=1时,为半径r=2的圆; ③k<1时,长轴在x轴上，半长轴= ，半短轴=2 Y Y Y k=2 A k=1 (0,2) k=1/4 O A X O B X O X 如图：
2)k=0时，方程为y2=4图形是两条平行于x轴的直线 如图 3）k<0时，方程为 Y Y y=2 k=-4 A O O X B X y=-2 这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y轴上如图：
三．（本题满分14分） （如图）AB是半圆的直径，C是半圆上一点，直线MN切半圆于C点，AM⊥MN于M点，BN⊥MN于N点，CD⊥AB于D点， 求证：1)CD=CM=CN. 2)CD2=AM·BN M C N A B D 1)证：连CA，CB，则∠ACB=900∠ACM=∠ABC ∠ACD=∠ABC ∴∠ACM=∠ACD∴△AMC≌△ADC ∴CM=CD同理CN=CD∴CD=CM=CN 2）∵CD⊥AB，∠ACD=900 ∴ CD2=AD·DB 由1）知AM=AD，BN=BD ∴CD2=AM·BN 四．（本题满分12分） 五．（本题满分20分） 已知△ABC的三内角的大小成等差数列，tgAtgC=求角A，B，C的大小又已知顶点C的对边c上的高等于求三角形各边,b,c的长（提示：必要时可验证） 六．（本题满分20分） 七．（本题满分20分，文科考生不要求作此题） 已知函数y=x2+(2m+1)x+m2-1(m为实数） 1）m是什么数值时，y的极值是0？ 2）求证：不论m是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L1上画出m=-1、0、1时抛物线的草图，来检验这个结论 3）平行于L1的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任一条平行于L1而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等 解：用配方法得：
3.设L：x-y=为任一条平行于L1的直线 与抛物线y=x2+(2m+1)x+m2-1方程联立求解，消去y，得 x2+2mx+m2-1+=0∴（x+m)2=1- 因而当1-≥0即≤1时，直线L与抛物线相交，而＞1时，直线L与抛物线不相交 而这与m无关 因此直线L被各抛物线截出的线段都相等 一九七八年副题 1．（1）分解因式：x2-2xy+y2+2x-2y-3 解：原式=(x-y-1)(x-y+3) (2)求 解：原式=3/4 （4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm，母线的长等于2cm，求它的体积 解：
解：原式=30 2．已知两数x1 ,x2满足下列条件：
1）它们的和是等差数列1，3，…的第20项; 2）它们的积是等比数列2，-6，…的前4项和 求根为的方程 略解：x1 +x2=39，x1x2=-40故：1/x1+1/x2=-39/40 1/x1·1/x2=-1/40 所求方程为：40x2+39x-1=0. 3.已知：△ABC的外接圆的切线AD交BC的延长线于D点，求证：
A 1 B E C D 证：因为AD是△ABC的外接圆的切线，所以 ∠B=∠1∴△ABD∽△CAD 作AE⊥BD于点E，则 A M N α B E F D 4．（如图）CD是BC的延长线，AB=BC=CA=CD=，DM与AB，AC分别交于M点和N点，且∠BDM=α 求证：
证：作ME⊥DC于E，由△ABC是等边三角形，在直角△MBE中， 类似地，过N作NF⊥BC于F，在直角△NFC中，可证：
5．设有f(x)=4x4-4px3+4qx2+2p(m+1)x+(m+1)2.(p≠0）求证：
1）如果f(x)的系数满足p2-4q-4(m+1)=0,那么f(x)恰好是一个二次三项式的平方 2）如果f(x)与F(x)=(2x2+x+b)2表示同一个多项式，那么 p2-4q-4(m+1)=0 6．已知：sinx+bcosx =0.………………………………① Asin2x+Bcos2x=C.………………………………② 其中,b不同时为0 求证：2bA+(b2-2)B+(2+b2)C=0 则①可写成cosysinx-sinycosx=0, ∴sin(x-y)=0∴x-y=kπ(k为整数)， ∴x=y+kπ 又sin2x=sin2(y+kπ)=sin2y=2sinycosy= cos2x=cos2y=cos2y-sin2y= 代入②，得 7．已知L为过点P而倾斜角为300的直线，圆C为中心在坐标原点而半径等于1的圆，Q表示顶点在原点而焦点在的抛物线设A为L和C在第三象限的交点，B为C和Q在第四象限的交点 1）写出直线L、圆C和抛物线Q的方程，并作草图 2）写出线段PA、圆弧AB和抛物线上OB一段的函数表达式 3）设P＇、B＇依次为从P、B到x轴的垂足求由圆弧AB和直线段BB＇、B＇P＇、P＇P、PA所包含的面积 Y O X B Q L P A C 解：1）直线L、圆C和抛物线Q的方程为 2)由 Y P＇ B＇ O X B A C Q L P

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