2000年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分．第I卷1至2页．第II卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 (1) 设集合A和B都是自然数集合N，映射把集合A中的元素映射到集合B中的元素，则在映射下，象20的原象是 (
) (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (2) 在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是 (
) (A) 2 (B)
(C)
(D) 3 (3) 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，，，这个长方体对角线的长是 (
) (A) 2 (B) 3 (C) 6 (D)
(4) 已知，那么下列命题成立的是 (
) (A) 若、是第一象限角，则 (B) 若、是第二象限角，则 (C) 若、是第三象限角，则 (D) 若、是第四象限角，则
(5) 函数的部分图像是 (
)
(6)《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：
全月应纳税所得额 税率 不超过500元的部分 5% 超过500元至2000元的部分 10% 超过2000元至5000元的部分 15% … … 某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于 (
) (A) 800~900元 (B) 900~1200元 (C) 1200~1500元 (D) 1500~2800元 (7) 若，P=，Q=，R=，则 (
) (A) RPQ (B) PQ R (C) Q PR (D) P RQ (8) 以极坐标系中的点为圆心，1为半径的圆的方程是
(
) (A)
(B)
(C)
(D)
(9) 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 (
) (A)
(B)
(C)
(D)
(10) 过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 (
) (A)
(B)
(C)
(D)
(11) 过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是、，则等于 (
) (A)
(B)
(C)
(D)
(12) 如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为 (
) (A)
(B)
(C)
(D)
第II卷(非选择题共90分) 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线． (13) 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛．3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_____种(用数字作答)
(14) 椭圆的焦点为、，点P为其上的动点，当为钝角时，点P横坐标的取值范围是________ (15) 设是首项为1的正项数列，且(=1，2，3，…)，则它的通项公式是=_______
(16) 如图，E、F分别为正方体的面、面的中心，则四边形在该正方体的面上的射影可能是_______．(要求：把可能的图的序号都填上)
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17) (本小题满分12分) 已知函数，． (I) 当函数取得最大值时，求自变量的集合； (II) 该函数的图像可由的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ (18) (本小题满分12分) 如图，已知平行六面体ABCD-的底面ABCD是菱形，且===． (I) 证明：⊥BD； (II) 假定CD=2，=，记面为，面CBD为，求二面角 的平面角的余弦值；
(III) 当的值为多少时，能使平面？请给出证明． (19) (本小题满分12分) 设函数，其中． (I) 解不等式； (II) 求的取值范围，使函数在区间上是单调函数． (20) (本小题满分12分) (I) 已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数； (II) 设、是公比不相等的两个等比数列，，证明数列不是等比数列． (21) (本小题满分12分) 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．
(Ⅰ) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=；
写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=； (Ⅱ) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？ (注：市场售价和种植成本的单位：元/kg，时间单位：天) (22) (本小题满分14分) 如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．当时，求双曲线离心率的取值范围．
2000年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准
一．选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分． (1)C
(2)B
(3)D
(4)D
(5)D
(6)C
(7)B (8)C
(9)A
(10)C
(11)C
(12)D
二．填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分． (13)252
(14)－
(15)
(16)②③
三．解答题 (17)本小题主要考查三角函数的图像和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．满分12分． 解：(Ⅰ) y=cos2x＋sinxcosx＋1 =(2cos2x－1)＋＋(2sinxcosx)＋1 =cos2x＋sin2x＋=(cos2x·sin＋sin2x·cos)＋ =sin(2x＋)＋
——6分 y取得最大值必须且只需 2x＋=＋2kπ，k∈Z， 即 x=＋kπ，k∈Z．
所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为 {x|x=＋kπ，k∈Z }
——8分 (Ⅱ)将函数y=sinx依次进行如下变换：
(i)把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin(x＋)的图像； (ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(2x＋)的图像； (iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(2x＋)的图像； (iv)把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin(2x＋)＋的图像；综上得到函数y=cos2x＋sinxcosx＋1的图像．
——12分 (18)本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分． (Ⅰ)证明：连结A1C1、AC、AC和BD交于O，连结C1O． ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AC⊥BD，BD=CD． 又∵∠BCC1=∠DCC1，C1C= C1C， ∴ △C1BC≌△C1DC ∴ C1B=C1D， ∵ DO=OB ∴ C1O⊥BD，
——2分 但AC⊥BD，AC∩C1O=O， ∴ BD⊥平面AC1， 又C1C平面AC1 ∴ C1C⊥BD．
——4分 (Ⅱ)解：由(Ⅰ)知AC⊥BD，C1O⊥BD， ∴ ∠C1OC是二面角α—BD—β的平面角． 在△C1BC中，BC=2，C1C=，∠BCC1=60º， ∴ C1B2=22＋()2－2×2××cos60º=
——6分 ∵ ∠OCB=30º， ∴ OB=BC=1． ∴C1O2= C1B2－OB2=， ∴ C1O=即C1O= C1C． 作 C1H⊥OC，垂足为H． ∴ 点H是OC的中点，且OH=， 所以cos∠C1OC==．
——8分 (Ⅲ)当=1时，能使A1C⊥平面C1BD 证明一：
∵ =1， ∴ BC=CD= C1C， 又∠BCD=∠C1CB=∠C1CD， 由此可推得BD= C1B = C1D． ∴ 三棱锥C－C1BD是正三棱锥．
——10分 设A1C与C1O相交于G． ∵ A1 C1∥AC，且A1 C1∶OC=2∶1， ∴ C1G∶GO=2∶1． 又C1O是正三角形C1BD的BD边上的高和中线， ∴ 点G是正三角形C1BD的中心， ∴ CG⊥平面C1BD． 即A1C⊥平面C1BD．
——12分 证明二：
由(Ⅰ)知，BD⊥平面AC1， ∵ A1 C平面AC1，∴BD⊥A1 C．
——10分 当=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形， 同BD⊥A1 C的证法可得BC1⊥A1C， 又BD⊥BC1=B， ∴ A1C⊥平面C1BD．
——12分 (19)本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．满分12分． 解：(Ⅰ)不等式f(x) ≤1即 ≤1＋ax， 由此得1≤1＋ax，即ax≥0，其中常数a＞0． 所以，原不等式等价于
即
——3分 所以，当0＜a＜1时，所给不等式的解集为{x|0}； 当a≥1时，所给不等式的解集为{x|x≥0}．
——6分 (Ⅱ)在区间[0，+∞]上任取x1、x2，使得x1＜x2． f(x1)－f(x2)= －－a(x1－x2)
=－a(x1－x2)
=(x1－x2)(－a)．
——8分 (ⅰ)当a≥1时 ∵ <1 ∴ －a<0， 又x1－x2<0， ∴ f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)． 所以，当a≥1时，函数f(x)在区间上是单调递减函数．
——10分 (ii)当0<a<1时，在区间上存在两点x1=0,x2=，满足f(x1)=1，f(x2)=1，即f(x1)=f(x2)，所以函数f(x)在区间上不是单调函数． 综上，当且仅当a≤1时，函数f(x)在区间上是单调函数．
——12分 (20)本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力，满分12分． 解：(Ⅰ)因为{cn+1－pcn}是等比数列，故有 （cn+1－pcn）2=( cn+2－pcn+1)(cn－pcn－1)， 将cn=2n＋3n代入上式，得 [2n＋1+3n＋1－p(2n＋3n)]2 =[2n＋2+3n＋2－p(2n+1＋3n+1)]·[2n+3n－p(2n－1＋3n－1)]，
——3分 即[(2－p)2n+(3－p)3n]2 =[(2－p)2n+1+(3－p)3n+1][ (2－p)2n－1+(3－p)3n－1]， 整理得(2－p)(3－p)·2n·3n=0， 解得p=2或p=3．
——6分 (Ⅱ)设{an}、{bn}的公比分别为p、q，p≠q，cn=an+bn． 为证{cn}不是等比数列只需证≠c1·c3． 事实上，=(a1p＋b1q)2=p2＋q2＋2a1b1pq， c1·c3=(a1＋b1)(a1 p2＋b1q2)= p2＋q2＋a1b1(p2＋q2)． 由于p≠q，p2＋q2>2pq，又a1、b1不为零， 因此c1·c3，故{cn}不是等比数列．
——12分 (21)本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分． 解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为 f(t)=
——2分 由图二可得种植成本与时间的函数关系为 g(t)=(t－150)2＋100，0≤t≤300．
——4分 (Ⅱ)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得 h(t)=f(t)－g(t) 即h(t)=
——6分 当0≤t≤200时，配方整理得 h(t)=－(t－50)2＋100， 所以，当t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100； 当200<t≤300时，配方整理得 h(t)=－(t－350)2＋100 所以，当t=300时，h(t)取得区间[200，300]上的最大值87.5．
——10分 综上，由100>87.5可知，h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．
——12分 (22)本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14分．
解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xoy，则CD⊥y轴． 因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于x轴对称．
——2分 依题意，记A(－c，0)，C(，h)，E(x0, y0)，其中c=|AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高． 由定比分点坐标公式得 x0== ， ． 设双曲线的方程为，则离心率. 由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线方程得 ，
① ．
②
——7分 由①式得
，
③ 将③式代入②式，整理得 ， 故
．
——10分 由题设得，． 解得． 所以双曲线的离心率的取值范围为．
——14分
