2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷） 数学（文史类） 注意事项：
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：
三角函数的积化和差公式：
正棱台、圆台的侧面积公式
其中、分别表示
上、下底面周长，表示斜高或母线长.
球体的体积公式：
，其中R
表示球的半径. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第Ⅰ卷（选择题共60分） 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．直线对称的直线方程为
（
） （A）
（B）
（C）
（D） 2．已知，，则
（
）
（A）
（B）
（C）
（D） 3．抛物线的准线方程是的值为
（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
4．等差数列中，已知为（
）
（A）48
（B）49
（C）50
（D）51
5．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为，则双曲线的离心率为（
）
（A）
（B）
（C）
（D） 6．设函数 ，若，则的取值范围是
（
）
（A）（，1）
（B）（，）
（C）（，）（0，）
（D）（，）（1，） 7．已知（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
8．函数（
）
（A）0
（B）
（C）
（D）
9．已知（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
10．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，它的内接圆柱的底面半径为，该圆柱的全面积为（
）
（A）
（B）
（C）
（D） 11．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点沿与AB夹角为的方向射到BC上的点后，依次反射到CD、DA和AB上的点、和（入射角等于反射角）若重合，则tg=
（
）
（A）
（B）
（C）
（D）1 12．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
2003年普通高等学校招生全国统一考试 数
学（文史类） 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上 13．不等式的解集是____________________. 14．的展开式中系数是
________
. 15．在平面几何里，有勾股定理：“设”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥的三个侧面两两互相垂直，则______________________________________________.” 2 1 5 3 4 16．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有
种_______________________（以数字作答）
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分12分） 已知正四棱柱点中点 E D1 B1 A1 C1 B D C A F M （Ⅰ）证明的公垂线 （Ⅱ）求点的距离
18．（本小题满分12分）
已知复数的辐角为，且是和的等比中项，求.
19．（本小题满分12分）
已知数列满足 （Ⅰ）求； （Ⅱ）证明
y O O O x 20．（本小题满分12分）
已知函数 （Ⅰ）求函数的最小正周期和最大值； （Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数在区间上的图象
21．（本小题满分12分） O 北 东O y 线 岸 O x O r(t) P
海
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
22．（本小题满分14分）
已知常数，在矩形ABCD中，，，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由 O P A G D F E C B x y
2003年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题（文）参考解答及评分标准
说明：
一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四. 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分. 1．C
2．D
3．B
4．C
5．B
6．D
7．D
8．C
9．C
10．B
11．C
12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分. 13．
14．
15．
16．72 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（I）证明：取BD中点M，连结MC，FM，
∵F为BD1中点， ∴FM∥D1D且FM=D1D 又EC=CC1，且EC⊥MC， ∴四边形EFMC是矩形
∴EF⊥CC1
又CM⊥面DBD1
∴EF⊥面DBD1 ∵BD1面DBD1， ∴EF⊥BD1
故EF为BD1与CC1的公垂线 （II）解：连结ED1，有V 由（I）知EF⊥面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d， 则S△DBC·d=S△DCD·EF. ∵AA1=2·AB=1.
故点D1到平面BDE的距离为. 18．解：设z=
由题设
即
（舍去） 即|z|= 19．（I）解∵ （II）证明：由已知
=
所以 20．解（I）
所以函数的最小正周期为π，最大值为. （Ⅱ）由（Ⅰ）知
1
1
1 故函数在区 间上的图象是
21．解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向.
在时刻：t（h）台风中心的坐标为
此时台风侵袭的区域是，其中t+60，
若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有
即 即，
解得. 答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭 22．解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到定点距离的和为定值. 按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a） 设， 由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）. 直线OF的方程为：，
① 直线GE的方程为：. ② 从①，②消去参数k，得点P（x，y）坐标满足方程， 整理得. 当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长. 当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值. 当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值.
