2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷） 数
学（理工农医类） 注意事项：
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：
三角函数的积化和差公式：
正棱台、圆台的侧面积公式
其中、分别表示
上、下底面周长，表示斜高或母线长.
球体的体积公式：
，其中R
表示球的半径. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷（选择题共60分） 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知，0），，则
（
）
（A）
（B）
（C）
（D） 2．圆锥曲线的准线方程是
（
）
（A）
（B） （C）
（D） 3．设函数 ，若，则的取值范围是
（
）
（A）（，1）
（B）（，）
（C）（，）（0，）
（D）（，）（1，） 4．函数的最大值为
（
）
（A）
（B）
（C）
（D）2 5．已知圆C：（）及直线：，当直线被C截得的弦长为时，则
（
）
（A）
（B）
（C）
（D） 6．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（
）
（A）
（B）
（C）
（D） 7．已知方程的四个根组成一个首项为的的等差数列，则
（
）
（A）1
（B）
（C）
（D） 8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是
（
）
（A）
（B）
（C）
（D） 9．函数，的反函数
（
）
（A） ，1]
（B） ，1]
（C） ，1]
（D）
，1] 10．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点沿与AB的夹角的方向射到BC上的点后，依次反射到CD、DA和AB上的点、和（入射角等于反射角），设的坐标为（，0），若，则tg的取值范围是
（
）
（A）（，1）
（B）（，）
（C）（，）
（D）（，） 11．
（
）
（A）3
（B）
（C）
（D）6 12．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（
）
（A）
（B）
（C）
（D） 2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷） 数
学（理工农医类） 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上 13．的展开式中系数是
14．使成立的的取值范围是
2 1 5 3 4 15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有
种（以数字作答） P M N l P N M l N l P M l M N P N l P M 16．下列5个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出面MNP的图形的序号是
（写出所有符合要求的图形序号）
①
②
③
④
⑤
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分12分）
已知复数的辐角为，且是和的等比中项，求
18．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D、E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G （I） 求与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示） D E K B C1 A1 B1 A F C G （II） 求点到平面AED的距离
19．（本小题满分12分）
已知，设
P：函数在R上单调递减
Q：不等式的解集为R 如果P和Q有且仅有一个正确，求的取值范围
20．（本小题满分12分） O 北 东O y 线 岸 O x O r(t) P
海
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南）方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
21．（本小题满分14分） O P A G D F E C B x y
已知常数，在矩形ABCD中，，，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由
22．（本小题满分12分，附加题4 分）
（I）设是集合 且}中所有的数从小到大排列成的数列，即，，，，，，…
将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：
3 5 6 9
10
12 —
—
—
— …………
⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数； ⑵求 （II）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）
设是集合，且中所有的数从小到大排列成的数列，已知，求.
2003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)
数学（理工农医类）答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分. 1．D
2．C
3．D
4．A
5．C
6．B
7．C
8．D
9．D
10．C
11．B
12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分. 13．
14．（-1，0）
15．72
16．①④⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17． 解：设，则复数由题设
18．（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角. 设F为AB中点，连结EF、FC，
（Ⅱ）解：
19．解：函数在R上单调递减 不等式
（以上方法在新疆考区无一人使用，大都是用解不等式的方法，个别使用的图象法） 20．解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.
在时刻：（1）台风中心P（）的坐标为
此时台风侵袭的区域是
其中若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有
即
答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭. 21．根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P到两点距离的和为定值. 按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）设 由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak） 直线OF的方程为：① 直线GE的方程为：② 从①，②消去参数k，得点P（x,y）坐标满足方程 整理得 当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.
当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长 当时，点P到椭圆两个焦点（的距离之和为定值 当时，点P 到椭圆两个焦点（0， 的距离之和为定值2. 22．（本小题满分12分，附加题4分） （Ⅰ）解：用(t,s)表示，下表的规律为
3（(0,1)=） 5(0,2)
6(1,2) 9(0,3)
10(1,3)
12(2,3) —
—
—
— …………
（i）第四行17(0,4)
18(1,4)
20(2,4)
24(3,4)
第五行 33(0,5)
34(1,5)
36(2,5)
40(3,5)
48(4,5)
（i i）解法一：因为100＝（1+2+3+4+……+13）+9，所以(8,14)＝＝16640 解法二：设，只须确定正整数
数列中小于的项构成的子集为
其元素个数为 满足等式的最大整数为14，所以取 因为100－ （Ⅱ）解：
令
因
现在求M的元素个数：
其元素个数为：
某元素个数为 某元素个数为 另法：规定（r,t,s），＝（3,7,10） 则＝
（0,1,2）
依次为
（0,1,3） （0,2,3） （1,2,3）
（0,1,4） （0,2,4）（1,2,4）（0,3,4） （1,3,4）（2,3,4）
………… （0,1,9） （0,2,9）………… （ 6,8,9
）（7,8,9）
（0,1,10）（0,2,10）………（0,7,10）（ 1,7,10）（2,7,10）（3,7,10）……
+4
