2002年普通高等学校招生全国统一考试（数学）文及答案 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分．第I卷1至2页．第II卷3至9页．共150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题共60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）直线与圆相切，则的值为 （A） （B） （C）1 （D） （2）复数的值是 （A） （B） （C） （D）1 （3）不等式的解集是 （A） （B）且 （C） （D）且 （4）函数在上的最大值与最小值这和为3，则＝ （A） （B）2 （C）4 （D） （5）在内，使成立的的取值范围是 （A） （B） （C） （D） （6）设集合，，则 （A） （B） （C） （D） （7）椭圆的一个焦点是，那么 （A） （B）1 （C） （D） （8）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是 （A） （B） （C） （D） （9），则有 （A）（B）（C） （D） （10）函数（）是单调函数的充要条件是 （A） （B） （C） （D） （11）设，则二次曲线的离心率取值范围 （A） （B） （C） （D） （12）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 （A）8种 （B）12种 （C）16种 （D）20种 第II卷(非选择题共90分) 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线． （13）据新华社2002年3月12日电，1985年到2000年间。我国农村人均居住面积如图所示，其中，从 年2000年的五年间增长最快。
（14）函数（）图象与其反函数图象的交点为 （15）展开式中的系数是 （16）对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在轴上；
②焦点在轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④抛物线的通径的长为5；
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为。
能使这抛物线方程为的条件是第 （要求填写合适条件的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数 （1）求这段时间的最大温差；
（2）写出这段时间的函数解析式；
（18）甲、乙物体分别从相距70米的两处同时相向运动。甲第1分钟走2米，以后每分钟比前1分钟多走1米，乙每分钟走5米。
（1）甲、乙开始运动后几分钟相遇？ （2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1米，乙继续每分钟走5米，那么开始运动几分钟后第二相遇？ （19）四棱锥的底面是边长为的正方形，平面。
（1）若面与面所成的二面角为，求这个四棱锥的体积；
（2）证明无论四棱锥的高怎样变化。面与面所成的二面角恒大于 （20）设函数， （1）讨论的奇偶性；
（2）求的最小值。
（21）已知点到两定点、距离的比为，点到直线的距离为1，求直线的方程。
（22）（本小题满分12分，附加题满分4分） （I）给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；
（II）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；
（III）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分） 如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪栟成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等。请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明。
参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C C B C B B C D A D B 二、填空题 （13）1995 （14） （15）1008 （16）②⑤ 三、解答题 （17）解：（1）由图示，这段时间的最大温差是℃ （2）图中从6时到14时的图象是函数的半个周期 ∴，解得 由图示， 这时， 将代入上式，可取 综上，所求的解析式为（） （18）解：（1）设分钟后第1次相遇，依题意，有 ，整理得，解得，（舍） 第1次相遇是在开始后7分钟． （2）设分钟后第2次相遇，依题意，有 ，整理得，解得，（舍） 第2次相遇是在开始后15分钟． （19）解（1）∵平面，∴是在面上的射影，∴ ∴是面与面所成二面角的平面角， 而是四棱锥的高， ∴ （2）证：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面与恒为全等三角形． 作，垂足为，连结，则． ∴，，故是面与面所成的二面角的平面角． 设与相交于点，连结，则． 在△中， 所以，面与面所成的二面角恒大于 （20）解：（I）,，由于， 故既不是奇函数，也不是偶函数． （2） 由于在上的最小值为，在内的最小值为 故函数在内的最小值为 （21）解：设的坐标为，由题意有，即 ，整理得 因为点到的距离为1， 所以，直线的斜率为 直线的方程为 将代入整理得 解得， 则点坐标为或 或 直线的方程为或． （22）解（I）如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥． 如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上底． （II）依上面剪拼方法，有． 推理如下：
设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为．现在计算它们的高：
，． 所以． （III）如图3，分别连结三角形的内心与各顶点，得三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形．以新作的三角形为直棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可心拼成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱．
