专题2：图像,追及

专题二：运动图像 追及相遇问题 一、运动图像 1.阐述一下四个物理分别做什么运动 a表示物体在做加速度减小的加速运动；

b表示物体在做加速度减小的减速运动；

c表示物体在做加速度增大的减速运动；

d表示物体在做加速度增大的加速运动． 特别提醒：
①v－t图象斜率为正(即向上倾斜)不一定做加速运动，斜率为负(即向下倾斜)不一定做减速运动． ②无论是v－t图象还是S－t图象都不表示物体的运动轨迹． 2. 做直线运动的物体的v－t图象如图所示．由图象可知(　　) A．前10 s物体的加速度为0.5 m/s2，后5 s物体的加速度为－1 m/s2 B．15 s末物体回到出发点 C．10 s末物体的运动方向发生变化 D．15 s末物体的加速度方向发生变化 解析：在v－t图象中，图线反映了速度随时间变化的规律，v－t图象是两段倾斜的直线，说明物体都做匀变速运动．图线分段的折点处，就是加速度方向发生变化处，直线斜率的正负发生变化，说明加速度的方向发生变化．速度图线与时间轴相交的时刻就是速度方向发生变化的时刻． 由以上分析可知：前10s内的加速度为a＝0.5m/s2，后5s的加速度为－1 m/s2，故A对；
从t＝0到t＝15s，物体一直朝正方向运动，故15s末物体距出发点最远，B错；
10s时速度方向没有变化，但10s前后图象的斜率的正负不同，故10 s时加速度方向发生变化；
C、D错． 答案：A 3.一物体由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的规律如图所示．取物体开始运动的方向为正方向，则下列关于物体运动的v－t图象正确的是(　　) 解析：物体在0～1 s内做匀加速直线运动，在1～2 s内做匀减速直线运动，到2 s时速度刚好减为0，一个周期结束，以此循环运动． 答案：C 4.如图所示的位移(x)－时间(t)图象和速度(v)－时间(t)图象中给出四条图线，甲、乙、丙、丁代表四辆车由同一地点向同一方向运动的情况，则下列说法正确的是(　　) A．甲车做直线运动，乙车做曲线运动 B．0～t1时间内，甲车通过的路程大于乙车通过的路程 C．0～t2时间内，丙、丁两车在t2时刻相距最远 D．0～t2时间内，丙、丁两车的平均速度相等 解析：在S－t图象中表示的是直线运动的物体的位移随时间的变化情况，而不是物体运动的轨迹，由甲、乙两车在0～t1时间内做单向的直线运动，故在这段时间内两车通过的位移和路程均相等，A、B选项均错．在v－t图象中，t2时刻丙、丁速度相等，故两者相距最远，C选项正确．由图线可知，0～t2时间内丙位移小于丁的位移，故丙的平均速度小于丁的平均速度，D选项错误． 答案：C 5.如图所示S－t图象和v－t图象中，给出四条曲线1、2、3、4代表四个不同物体的运动情况，关于它们的物理意义，下列描述正确的是(　　) A．图线1表示物体做曲线运动 B．S－t图象中t1时刻v1＞v2 C．v－t图象中0至t3时间内4的平均速度小于3的平均速度 D．两图象中，t2、t4时刻分别表示2、4开始反向运动 答案：B 二、追及、相遇 1．追上与追不上的临界条件 追和被追的两者的速度相等时常是能追上、追不上、二者距离有极值的临界条件． 2．追及、相遇的特征 两物体在同一直线上运动，他们之间的距离发生变化时，可能出现最大距离、最小距离或者是距离为零的情况，这类问题称为追及、相遇问题． (1)速度大者减速(如匀减速直线运动)追速度小者(如匀速运动) ①两者速度相等时，追者位移仍小于被追者位移与初始间距之和，则永远追不上，此时二者间有最小距离． ②若速度相等时，若追者位移恰等于被追者位移与初始间距之和，则刚好追上，也是二者相遇时避免碰撞的临界条件． ③若相遇时追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还能再一次追上追者，二者速度相等时，二者间距离有一个较大值． (2)速度小者加速(如初速度为零的匀加速直线运动)追速度大者(如匀速运动) ①当两者速度相等时二者间有最大距离． ②当追者位移等于被追者位移与初始间距之和时，即后者追上前者 (两物体从同一位置开始运动)即相遇． 6.甲、乙两质点在一直线上做匀加速直线运动的v－t图象如图所示，在3 s末两质点在途中相遇，两质点出发点间的距离是(　　) A．甲在乙之前2 m B．乙在甲之前2 m C．乙在甲之前4 m D．甲在乙之前4 m 解析：甲、乙两质点在3 s末在途中相遇时，各自的位移为2 m和6 m，因此两质点出发点间的距离是甲在乙之前4 m. 答案：D 7.甲、乙两物体由同一位置出发沿一直线运动，其速度－时间图象如图所示，下列说法正确的是(　　) A．甲做匀速直线运动，乙做匀变速直线运动 B．两物体两次相遇的时刻分别是在2 s末和6 s末 C．乙超过甲的最远距离是3 m D．2 s后，甲、乙两物体的速度方向相反 解析：由图象知，v甲＝2 m/s，故甲物体做匀速直线运动，乙物体在0～2 s内沿正向做匀加速直线运动，在2～6 s内沿正向做匀减速直线运动．乙物体做的不是同一个匀变速直线运动，A错． 在2 s末，甲物体的位移S甲＝2×2 m＝4 m，乙物体的位移S乙＝×(2×4) m＝4 m，故两物体在2 s末相遇．在6 s末，甲物体的位移S甲′＝2×6 m＝12 m，乙物体的位移S乙′＝×(6×4) m＝12 m，故两物体在6 s末相遇，B正确2 s末相遇后乙超过甲，直到4 s末二者速度相等时距离最远为m=2m，所以C错．在0～6 s内，甲、乙两物体始终沿规定的正方向运动，D错． 答案：B 8.t＝0时，甲、乙两汽车从相距70 km的两地开始相向行驶，它们的v－t图象如图所示．忽略汽车掉头所需时间．下列对汽车运动状况的描述正确的是(　　) A．在第1小时末，乙车改变运动方向 B．在第2小时末，甲、乙两车相距60 km C．在前4小时内，乙车运动加速度的大小总比甲车的大 D．在第4小时末，甲、乙两车相遇 解析：速度图象在t轴下的均为反方向运动，故2 h末乙车改变运动方向，A错；
2 h末从图象围成的面积可知乙车运动位移为30 km，甲车位移为30 km，相向运动，此时两车相距70 km－30 km－30 km＝10 km，B错；
从图象的斜率看，斜率大加速度大，故乙车加速度在4 h内一直比甲车加速度大，C对；
4 h末，甲车运动位移120 km，乙车运动位移30 km，两车原来相距70 km，故此时两车还相距20 km，D错． 答案：
C 9.如图所示，a、b分别是甲、乙两辆车从同一地点沿同一直线同时运动的速度图象，由图象可以判断(　　) A．2 s后甲、乙两车的加速度大小相等 B．在0～8 s内两车最远相距148 m C．两车只有t0时刻速率相等 D．两车在t＝8 s时相遇 解析：2 s后，|a甲|＝ m/s2＝10 m/s2，|a乙|＝ m/s2，故|a甲|>|a乙|，A错；
t＝2 s时和t＝t0时，甲、乙速率均相等，故C错；
t＝8 s时，甲回到出发点，乙没有回到出发点，故D错；
由题干图可知两车在0～8 s内相距最远应在t0时刻，由a、b两直线可求出t0＝4.4 s，则两车相距最远距S应为a、b两线和纵轴围成的面积，解得x＝148 m，故B对． 答案：B 10．如图所示，小球甲从倾角θ＝30°的光滑斜面上高h＝5 cm的A点由静止释放，同时小球乙自C点以速度v0沿光滑水平面向左匀速运动，C点与斜面底端B处的距离L＝0.4 m．甲滑下后能沿斜面底部的光滑小圆弧平稳地朝乙追去，甲释放后经过t＝1 s刚好追上乙，求乙的速度v0. 解析：设小球甲在光滑斜面上运动的加速度为a，运动时间为t1，运动到B处时的速度为v1，从B处到追上小球乙所用时间为t2，则a＝gsin 30°＝5 m/s2 由 得：t1＝＝0.2 s，t2＝t－t1＝0.8 s，v1＝at1＝1 m/s，v0t＋L＝v1t2代入数据解得：v0＝0.4 m/s. 答案：0.4 m/s 11.在水平轨道上有两列火车A和B相距S，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同．要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件． 解析：解法一：
(物理分析法)A、B车的运动过程(如右图甲) 利用位移公式、速度公式求解． 对A车有SA＝v0t＋ ×(－2a)×t2 vA＝v0＋(－2a)×t 对B车有SB＝ at2，vB＝at，两车有S＝SA－SB 追上时，两车不相撞的临界条件是vA＝vB 联立以上各式解得v0＝ 故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤ 解法二：(极值法)利用判别式求解，由解法一可知SA＝S＋SB， 即v0t＋ ×(－2a)×t2＝S＋ at2 ，整理得3at2－2v0t＋2S＝0 这是一个关于时间t的一元二次方程， 当根的判别式Δ＝(2v0)2－4×3a×2S<0时，t无实数解，即两车不相撞， 所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤ 解法二：(极值法)利用判别式求解，由解法一可知SA＝S＋SB， 即v0t＋ ×(－2a)×t2＝S＋ at2 ，整理得3at2－2v0t＋2S＝0 这是一个关于时间t的一元二次方程， 当根的判别式Δ＝(2v0)2－4×3a×2S<0时，t无实数解，即两车不相撞， 所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤ 解法三：(图象法)利用速度－时间图象求解，先作A、B两车的速度—时间图象，其图象如图乙所示，设经过t时间两车刚好不相撞，则 对A车有vA＝v＝v0－2at 对B车有vB＝v＝at 以上两式联立解得t＝ 经t时间两车发生的位移之差，即为原来两车间的距离S，它可用图中的阴影面积表示，由图象可知 ，所以要使两车不相撞， A车的初速度v0应满足的条件是v0≤ 解法四：(相对运动法)巧选参考系求解．以B车为参考系，A车的初速度为v0，加速度为a＝－2a－a＝－3a.A车追上B车且刚好不相撞的条件是：
vt＝0，这一过程A车相对于B车的位移为s，由运动学公式vt2－v＝2as得：
02－v＝2×(－3a)×s，所以v0＝ 即要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤ (1)在解决追及相遇类问题时，要紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式，另外还要注意最后对解的讨论分析． (2)分析追及、相遇类问题时，要注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件． (3)解题思路和方法 12．A、B两列火车，在同轨道上同向行驶，A车在前，其速度vA＝10 m/s，B车在后，其速度vB＝30 m/s.因大雾能见度低，B车在距A车700 m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过1 800 m才能停止．问A车若按原速度前进，两车是否会相撞？说明理由． 解析：B车减速至vA＝10 m/s时的时间t＝＝ s＝80 s，此段时间内A车的位移为：
SA＝vAt＝10×80 m＝800 m，aB＝＝＝0.25 m/s2. B车的位移为：SB＝vBt－aBt2＝ m＝1 600 m 因为SB＝1 600 m>SA＋S＝800 m＋700 m＝1 500 m，所以A、B两车在速度相同之前已经相撞． 答案：相撞　 13．(2010·南昌调研)在一次警车A追击劫匪车B时，两车同时由静止向同一方向加速行驶，经过30 s追上．两车各自的加速度为aA＝15 m/s2，aB＝10 m/s2，各车最高时速分别为vA＝45 m/s，vB＝40 m/s，问追上时两车各行驶多少路程？原来相距多远？ 解析：如图所示，以A车的初始位置为坐标原点，Ax为正方向，令L为警车追上劫匪车所走过的全程，l为劫匪车走过的全程．则两车原来的间距为ΔL＝L－l 设两车加速运动用的时间分别为tA1、tB1，以最大速度匀速运动的时间分别为tA2、tB2， 则vA＝aAtA1，解得tA1＝3 s则tA2＝27 s，同理tB1＝4 s，tB2＝26 s 警车在0～3 s时间段内做匀加速运动，L1＝aAtA12 在3 s～30 s时间段内做匀速运动，则L2＝vAtA2 警车追上劫匪车的全部行程为L＝L1＋L2＝aAtA12＋vAtA2＝1 282.5 m 同理劫匪车被追上时的全部行程为l＝l1＋l2＝aBtB12＋vBtB2＝1 120 m， 两车原来相距ΔL＝L－l＝162.5 m 答案：1 282.5 m　1 120 m　162.5 m 14．一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10 m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5 s后警车发动起来，并以2.5 m/s2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在90 km/h以内．问：
(1)警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？ (2)警车发动后要多长时间才能追上货车？ 解析：(1)警车在追赶货车的过程中，当两车速度相等时．它们间的距离最大，设警车发动后经过t1时间两车的速度相等．则t1＝ s＝4 s，S货＝(5.5＋4)×10 m＝95 m， S警＝at＝×2.5×42 m＝20 m，所以两车间的最大距离ΔS＝S货－S警＝75 m. (2)v0＝90 km/h＝25 m/s，当警车刚达到最大速度时，运动时间t2＝ s＝10 s S货′＝(5.5＋10)×10 m＝155 m，S警′＝at＝×2.5×102 m＝125 m 因为S货′＞S警′，故此时警车尚未赶上货车，且此时两车距离ΔS′＝S货′－S警′＝30 m 警车达到最大速度后做匀速运动，设再经过Δt时间追赶上货车，则Δt＝＝2 s 所以警车发动后要经过t＝t2＋Δt＝12 s才能追上货车． 答案：(1)75 m　(2)12 s 其他图像问题 15..小灯泡通电后其电流I随所加电压U变化的图线如图所示，P为图线上一点，PN为图线的切线，PQ为U轴的垂线，PM为I轴的垂线，下列说法中错误的是(　　) A．随着所加电压的增大，小灯泡的电阻增大 B．对应P点，小灯泡的电阻为R＝ C．对应P点，小灯泡的电阻为R＝ D．对应P点，小灯泡的功率为图中矩形PQOM所围的“面积” 16．空间有一沿 x 轴对称分布的电场，其电场强度 E 随 x 变化的图象如图所示．下列判断正确的是 A．O点的场强最小，电势最低 B．－x1 处的电势和 x1 处的电势相等 C．电子从 x1 处到－x1 处的过程中速度先减小后增大 D．电子从 x1 处到－x1 处的过程中电势能一直减小 图5－1－14 17.质量为2 kg的物体，放在动摩擦因数为μ＝0.1的水平面上，在水平拉力F的作用下，由静止开始运动，拉力做的功W和物体发生的位移s之间的关系如图5－1－14所示，g＝10 m/s2.下列说法中正确的是(　　) A．此物体在AB段做匀加速直线运动，且整个过程中拉力的最大功率为15瓦 B．此物体在AB段做匀速直线运动，且整个过程中拉力的最大功率为6瓦 C．此物体在AB段做匀加速直线运动，且整个过程中拉力的最大功率为6瓦 D．此物体在AB段做匀速直线运动，且整个过程中拉力的最大功率为15瓦 解析：前3 m位移内的拉力为5 N，根据牛顿第二定律可得加速度a＝1.5 m/s2，末速度为3 m/s，后6 m位移内拉力等于2 N，所以此物体在AB段做匀速直线运动． 答案：D 18.如图甲所示，一条电场线与Ox轴重合，取O点电势为零，Ox方向上各点的电势φ随x变化的情况如图乙所示，若在O点由静止释放一电子，电子仅受电场力的作用，则(　　) A．电子将沿Ox方向运动 B．电子的电势能将增大 C．电子运动的加速度恒定 D．电子运动的加速度先减小后增大 解析：由题图甲可知O点右边的电势大于O点的电势，故电场线沿Ox的反方向，在O点静止释放电子，且电子仅受电场力作用时，电子将沿Ox方向运动，A正确；
电场力做正功，电势能减小，B错；
从图乙可知电势在相同距离的变化量先减小后增大，故电场强度先减小后增大，故电子运动的加速度先减小后增大，C错，D正确． 答案：
D 19.一辆汽车质量为1×103 kg，最大功率为2×104 W，在水平路面由静止开始做直线运动，最大速度为v2，运动中汽车所受阻力恒定．发动机的最大牵引 力为3×103 N，其行驶过程中牵引力F与车速的倒数的关系如图所示．试求 (1)根据图线ABC判断汽车做什么运动？ (2)v2的大小；

(3)整个运动过程中的最大加速度；

(4)当汽车的速度为10 m/s时发动机的功率为多大？ 解析：(1)图线AB段牵引力F不变，阻力f不变，汽车做匀加速直线运动，图线BC的斜率表示汽车的功率P，P不变，则汽车做加速度减小的加速运动，直至达到最大速度v2，此后汽车做匀速直线运动． (2)汽车速度为v2，牵引力为F1＝1×103 N，v2＝ m/s＝20 m/s. (3)汽车做匀加速直线运动时的加速度最大，阻力f＝ N＝1 000 N， a＝ m/s2＝2 m/s2. (4)与B点对应的速度为v1＝ m/s＝6.67 m/s 当汽车的速度为10 m/s时处于图线BC段，故此时的功率最大为Pm＝2×104 W. 答案：(1)AB段匀加速　BC段加速度减小的加速运动　(2)20 m/s　 (3)2 m/s2　(4)2×104 W

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