孙迩铮 俞一夫 周炜琛
【摘 要】错题练习可以帮助学生巩固知识，完善认知结构。大量研究探讨了错题练习的有效方式及其对数学学习的影响，但错题练习对数学学习的作用是否受到学生原有知识水平的影响，在现有文献中尚无结论。通过准实验设计，考察学生原有知识水平（高知识水平VS低知识水平）和错题练习方式（练习教师收集的共性错题VS订正练习自己做错的题目）对数学学习的交互作用。考察结果表明，課堂教学中的错题练习具有“知识反转”的效应，即练习教师收集的共性错题能促进低知识水平学生的数学学习，但对高知识水平学生的数学学习却产生了阻碍作用。研究结果为错题练习的实际教学应用提供了理论指导。
【关键词】知识水平;错题练习;知识反转效应
一、引言
数学作为基础教育阶段的主要学科之一，其重要性不言而喻。在数学学习过程中，因为练习可以帮助学生回顾旧知，巩固新知，加强学生对知识的理解，提升学生分析解决问题的能力，所以得到了教师的普遍重视。错题是指学生在解题过程中出现错误而没有做对的题目，包含了学生学习情况的反馈信息。[1]研究结果表明，对错题再学习是提高学习成绩的重要保证，在此过程中学生通过纠正错误来解决概念理解和知识运用方面存在的问题，实现数学知识的巩固和完善。[2]
错题对数学学习的有效性需建立在科学的错题练习方式上。有研究认为，教师在批改作业时可以将学生出错较多的共性错题整理出来，并统一讲解练习，这不仅可以培养学生解决问题的能力，更有助于学生间相互交流探讨，营造良好的学习氛围，最大限度地发挥错题的价值[3-4];也有学者提倡通过建立错题集归纳总结学生的常见错误，帮助学生对自己没有掌握的知识点进行巩固练习，以弥补知识漏洞[5]。
此外，有研究表明，同样的教学设计对不同知识水平的学生可能具有不同效果。针对同一学习任务，高知识水平的学生更擅长将呈现的众多信息整合成内部高关联的信息单元并进行有效加工，以取得更好的学习效果[6];而低知识水平的学生常常无法有效识别信息中的重要元素，更依赖信息的感知特征[7]。因而能力倾向与教学处置交互作用（Aptitude-Treatment Interaction，ATI）模型的研究者认为，教学应依据学生的特点采用针对性的措施。[8]学生原有知识水平对数学课堂学习效果起决定作用，教师需要根据学生的不同数学基础开展有针对性的教学，如为数学基础不同的学生设计不同层次的习题。
综上所述，错题对数学学习的重要性已得到研究验证，但教师该如何指导学生进行错题练习有待进一步探讨，错题对数学学习的影响是否与学生原有知识水平有关，目前尚无定论。基于上述分析，本研究旨在考察学生原有知识水平和错题练习方式对数学学习的交互影响，进而为教师有针对性地指导学生进行有效错题练习提供参考。
二、研究过程与方法
为考察不同知识水平学生（高知识水平VS低知识水平）运用不同错题练习方式（练习教师收集的共性错题VS订正练习自己做错的题目）所带来的数学学习效果差异，本研究采用准实验研究法，并提出如下假设：订正练习自己做错的题目更有助于高知识水平学生的数学学习，而练习教师收集的共性错题则更有助于低知识水平学生的数学学习。
（一）被试对象与实验设计
本研究采用混合设计，在某小学五年级中随机抽取2个平行班共80名学生为被试对象，其中男生42人，女生38人。根据上学期数学期末考试成绩将所有被试对象进行排序，取前50%为高知识水平被试对象，后50%为低知识水平被试对象，每组被试对象各40人，且高、低知识水平组成绩差异显著[t（88）=5.21，p<0.05]。每名被试对象需经历两次实验，分别对应两种错题练习方式（练习教师收集的共性错题VS订正练习自己做错的题目）。实验流程如图1所示。
实验1中，上午由教师组织课堂教学，下课前被试对象进行一次随堂练习，而后教师在中午批改作业并收集整理共性错题。下午为错题练习课，所有被试对象练习教师整理的共性错题，且由教师统一讲解分析，课后对被试对象进行上午课堂教学内容的即时测验。
实验2中，上午由教师（与实验1相同）组织课堂教学，下课前被试对象进行一次随堂练习，而后教师在中午批改作业并分别标注错题。下午为错题练习课，所有被试对象根据教师的作业反馈各自订正练习错题，写明错误原因及分析过程，必要时可寻求教师帮助，课后对被试对象进行上午课堂教学内容的即时测验。
两次实验的教学内容分别是人教版教材五年级上册第一单元“小数乘法”和第三单元“小数除法”，随堂练习题目来源于课本及辅导书。以上实验内容经过三名小学数学高级职称教师审查，认为教学内容同质，随堂练习难度适当。
（二）测量工具
本研究采用两次即时测验，分别检查被试对象在经过不同方式错题练习后，对“小数乘法”“小数除法”两部分教学内容的掌握程度。两次即时测验的题型题量相同，且与随堂练习题目不重复，由两名小学数学方向的本科生共同制定，经过三名小学数学高级职称教师审查，认为设计合理，难度适当。两次测验都包括5道填空题（共20分，10空，每空2分），5道单选题（共10分，每题2分），3类计算题（共40分，14小题）和5道综合题（共30分，每题6分），总分100分，且都具有良好的区分度[t（78）=6.17，p<0.001;t（78）=8.08，p<0.001]。
三、研究结果
为考察学生原有知识水平和错题练习方式对数学学习的交互影响，本研究以学生原有知识水平（高知识水平VS低知识水平）和错题练习方式（练习教师收集的共性错题VS订正练习自己做错的题目）为自变量，以两次即时测验成绩为因变量，进行重复测量方差分析，结果表明：学生原有知识水平和错题练习方式的交互效应显著[F（1，78）=198.31，p<0.001]。
分析简单效应后发现，高知识水平学生在订正练习自己做错的题目后，即时测验成绩更高[F（1，39）=317.65，p<0.001];而低知识水平学生在练习教师收集的共性错题后取得更高的即时测验成绩[F（1，39）=4.38，p<0.05]（见图2）。该结果支持了研究假设。
四、讨论
本研究证实了不同错题练习方式对不同知识水平学生的数学学习所产生的影响存在差异。具体表现为，对于高知识水平学生而言，订正练习自己做错的题目，更有助于理解掌握数学知识;对于低知识水平学生而言，练习教师收集的共性错题，更有助于其数学成绩的提升。
通过研究发现，订正练习自己做错的题目，对提升低知识水平学生的数学成绩而言效果并不理想，这或许是因为各自订正练习错题意味着获得的教学指导和支持较少，其教学要求可能处在低知识水平学生的最近发展区之上，即个性化的错题练习因难度过大，无法起到应有效果。[9]也就是说，低知识水平学生缺乏独立管理、利用错题以完善知识体系的能力，需依赖教师统一讲解分析错题，来弥补学习上的劣势。[10]因此对这部分学生而言，练习教师收集的共性错题时，教学要求正好处在其最近发展区之内，反而更有助于其数学成绩的提升。
另外，研究结果表明，对低知识水平学生有效的共性错题练习，反而阻碍了高知识水平学生的数学学习。知识反转效应（Expertise Reversal Effect）为其提供了解释，即对低知识水平学生有效的教学方法，当用于高知识水平学生时，其有效性可能会降低甚至产生负面影响。对于高知识水平学生，应给予最少的教师指导和同伴支持。[11]这是由于学习中的认知加工活动需消耗个体认知资源，而其总量却有限，过多地获得外在教学指导会造成新信息与已有认知结构中的图式重复加工，造成高水平学生认知超载，反而降低其学习效果。[12]也就是说，高知识水平学生因采用自上而下的信息处理策略，能够从错题中识别与知识点相关的信息，主动建立新旧知识的关联，有效弥补知识体系漏洞，因此通过订正练习自己做错的题目能有更好的学习表现。[13]而练习教师收集的共性错题时，可能存在部分错题与高知识水平学生已有认知图式重复加工整合的问题，导致教学要求处在其最近发展区之下，且过多的教学支持让这部分学生因处理冗余教学信息而产生额外的认知负荷，数学成绩反而降低。[14]
五、结论与启示
本研究在已有研究基础上，探讨了学生原有知识水平与错题练习方式对数学学习的交互影响。研究结果为错题练习对数学学习的益处提供了实验证据，为教学实践中如何有效进行错题练习提供了理论指导，并且探索出了其边界条件，即错题练习出现了知识反转效应。具体教学启示如下。
对于低知识水平学生而言，练习共性错题更有利于其巩固数学知识，因此教师在日常教学中应收集这部分学生的作业、测试中存在的共性错题并统一讲解练习，督促其提升;对于高知识水平学生而言，教师统一讲解共性错题反而会阻碍其学习，应鼓励这部分学生平时养成整理错题的好习惯，并自己订正练习错題，这样更有助于其数学成绩的提升。总而言之，错题练习需要“因生而异”，让高知识水平学生自己分析整理错题，让低知识水平学生听教师讲解并练习教师整理的错题。
同时，值得注意的是，本研究虽得出了有意义的结论，但仍存在两个局限：第一，仅选取了小学生为研究对象，而不同学段的学生可能存在错题再学习能力方面的差异，未来可以在初高中数学学习中验证本研究的结果;第二，仅采用两个单元的内容进行教学实验，相较于学生整个数学学习阶段而言过于短暂，因此需进一步在长期数学教学时空中探讨结论的适用性。
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（绍兴文理学院教师教育学院 312000）
