姚一玲 贾随军
【摘 要】提出问题和解决问题一直以来都是数学教育的重要目标。关于问题解决的研究已有较长历史，但关于问题提出的研究却相对缺乏。近年来问题提出越来越受到数学教育工作者的广泛关注。以在上海举办的第14届国际数学教育大会（ICME-14）中“问题提出与问题解决”小组的研究为基础，从“教学资源和要素”“教学模式与教师准备”“学生的认知过程”以及“如何运用技术开展教学”四个方面进行简要介绍，为读者梳理“问题提出与问题解决”国际研究的进展与趋势。
【关键词】问题提出;问题解决;ICME-14;综述
提出问题和解决问题一直以来都是数学教育的重要目标。问题解决在数学教育领域备受关注已经超过半个世纪，有了很多相关的研究成果。然而，对各年龄阶段的学习者来说，解决问题依然有很多困难和挑战[1]。已有研究表明，教师很难如课程目标要求的那样，将问题解决很好地融入自己的课堂教学中，这主要是由于教师在教学过程中担心产生不可预测的结果。因此，教师依然需要加强问题解决的教学实践，从而推动自己的专业发展。
虽然问题提出与问题解决同样重要，但数学教育领域真正开始关注问题提出也仅有三十年左右的时间。尽管波利亚的解决问题步骤中的“回溯”需要问题解决者提出问题，但直至20世纪80年代问题提出才受到更多研究者的关注。Kilpatrick（1987）指出，问题提出不仅仅是一种教学目标，还是一种教学方法或手段。但无论是何种功能的问题提出研究，都依然处于起步发展阶段。
第14届国际数学教育大会（ICME-14）设置了“问题提出与问题解决”主题研究小组（TSG17），以期在强调问题解决研究重要性的同时凸显问题提出的教育价值。该小组提供的37篇文章中有12篇涉及问题解决，21篇涉及问题提出，4篇既涉及问题解决又涉及问题提出。由于该主题小组文章较多且内容较细，无法将所有文章涉及的内容都纳入本文中，只能选择较为重要的研究内容和趋势进行分类整理和综述，以帮助读者了解目前该领域的国际研究进展与趋势。由于个别文章会涉及多个主题，同一篇文章有可能在多个主题中讨论。此外，有3～5篇文章或因会议论文较短很难凸显研究主题与研究结果，或因作者未做会议报告，在本文中没有涉及。
一、问题提出、问题解决的教材文本分析及使用
王嵘和王翠桥从历史发展的角度分别对人教版三个系列的初中（1992、2005、2012年）和高中（1996、2007、2019年）数学教材中问题提出任务的数量、类型、内容领域、习题等进行比较分析。研究发现，两学段教材在问题提出任务的设计和呈现上基本一致：2000年后问题提出任务开始增多，但相较于问题解决任务来说，依然较少;内容领域分布不均衡，主要涉及数与代数领域;年级分布不均，年级越高，问题提出任务越少;问题提出任务要求学生不仅达到对知识的“知道与理解”，更要突出“抽象与一般化”“探究与发现”以及“归纳与反思”的思维过程。类似的，Yan等人基于Cai和Jiang提出的问题提出任务类别，比较了人教版和北师大版两个系列（1990年和2000年）的初中和小学数学教科书中的问题提出任务。[2]比较结果显示：虽然问题提出任务在两个版本教材中占比普遍较低，但有增加的趋势;年级分布不均，内容领域大部分只涉及数与代数领域，且结构化情境占比较大;小学教科书的问题提出任务更多要求学生基于给定信息和样例提出额外问题，而初中教科书多要求学生提出一个与给定运算相匹配的问题。
为了考察教材中的问题解决任务对于教师课堂教学的影响，Maud分析了瑞士Geneva州数学教科书中有关推理的问题解决任务，同时以两名教师为个案，评估他们对教科书中有关推理问题解决任务的选择性使用。Maud发现，该州数学教科书中涉及的数学推理有实验法、试误法、穷举法、例证法、逻辑推理和演绎推理等。其中，大部分属于演绎推理。而两位教师在实际教学过程中更加突出对学生逻辑推理和解题策略的培养。出现这一偏差的主要原因是，教科书或其他官方课程材料并未提供给教师明确的教学目标和实施策略，這使得教师只能依赖于自己的经验，并以容易达成的目标为导向，选择教材中的问题提出任务。
虽然许多国家的课程标准呼吁在问题解决教学中要突出数学思想方法的渗透和应用，并且要发挥问题提出的作用，但从以上研究可以发现，实际的数学教材、课堂教学与课程标准的要求之间存在一定的差距。教师很难根据课标的要求选择教材中的问题解决任务，教师对教材中问题解决任务的选择具有随意性。此外，相较于问题解决任务，教材中的问题提出任务非常欠缺，且在类型、主题分布、年级分布等方面不均衡。[3]
二、问题提出、问题解决的教学方式与教师专业发展
Cai等人阐述了问题提出的10个研究领域，问题提出的教学方式以及教师在实施问题提出教学时所具备的知识与能力是其中的2个领域。[4]由此可见，研究问题提出的教学方式以及教师为此所具备的知识和能力是非常必要的。
（一）问题提出、问题解决的教学方式
为有效帮助教师和学生提出问题，Dickman设计了两种问题提出的方法：反向提问和提出相似问题。反向提问法不同于常规的给定条件求解结论，而是在讲解完问题解决方法后提供结果，让学生补充条件。提出相似问题则类似于波利亚的问题解决方法之一，即让学生改变已有问题中的部分条件，创建一个相似问题，之后解决该问题并解释自己提出的问题与给定的问题之间的相似关系。该研究基于学生可能会遇到的困难，通过实际案例展示教师如何使用两种方法开展问题提出与问题解决的教学。
Amado等人设计了一个关于马桶年用水量的实际生活情境，引导学生从中提出数学问题，从而考察七年级学生问题提出与其在问题解决过程中提出假设的能力之间的关系。研究发现，基于实际生活情境进行教学对发展学生问题提出能力有重要作用，且学生提出假设的能力与其问题提出能力之间有显著关系。
Andrade综合了维果茨基的社会文化理论、Paulo Freire的批判教育理论以及Lakatos的数学哲学理论，进而提出在探究性问题解决教学过程中需要依赖课堂环境，持续不断地延伸问题，使学生能够深入挖掘问题并运用多种方法解决问题，他更多地从宏观领域提出探究性问题解决教学需要关注的要素。而Subramanian等人的研究更为具体，他们指出，尽管探究性问题解决教学备受重视，但目前几乎没有相应的教学理论帮助教师开展这方面的课堂教学。基于此，他们在现实数学教育框架下，设计了本土探究性问题解决教学框架。该框架包含七个要素：低门槛、高天花板的起点，陌生内容，多策略，多方案解决，关键想法，关键点以及解决过程。
（二）问题提出与教师专业发展
教师的数学知识、教学知识等都对学生的学习结果有显著影响。因此，考察数学教师的相关知识与能力也是本小组研究者们关注的重要内容。姚一玲等人利用图示及问题提出等手段考察职前数学教师对分数除法运算的概念性理解。研究发现，职前教师能够提出一定的数学问题，但相较于画图，他们在问题提出时对概念性理解表现得更为突出。由此也表明问题提出作为一种评估手段，能够更加准确地诊断出学习者的数学理解程度。类似的，İskenderoğlu考察了31名土耳其小学数学教师在分数加法内容上的问题提出能力。研究者提供了4个开放式问题提出任务，随后对教师提出的问题进行分析。研究发现，教师在问题提出过程中存在三类困难：语言困难、概念困难、由教学习惯引起的困难。Beltran比较了在职和职前数学教师问题提出的表现差异，主要从问题的情境、内容、类型、清晰程度以及准确性方面考察研究对象提出的文字问题。研究发现，职前教师提出的问题会基于更多种类的情境，但涉及的数学概念较为基础。在职教师所提问题几乎很少有情境，但会涉及更多数学内容和过程。该研究也得出与前文研究相似的结论，即问题提出可以作为评价学习者数学内容知识掌握情况的工具[5]。
为了探讨问题提出策略是否会影响小学职前数学教师对分数概念的表征和理解，Vula和Berisha调查了101名塞尔维亚大二职前小学数学教师。调查结果显示，问题提出活动会显著影响职前教师对分数的表征和概念理解。同时也发现，职前教师在正确建构分数概念方面存在困难。张丹等人则将问题提出作为教学手段，以工作坊的方式指导教师开展问题提出教学。通过一年的纵向跟踪研究发现，接受问题提出教学的学生在问题解决、问题提出以及数学情感等方面均有显著提升。然而，Lautert等人认为，要开展问题提出教学，教师首先要具备提出问题的能力，因此他们对39名教授1至9年级的巴西数学教师进行了调查研究。研究者让教师提出8个关于乘法和除法的问题，随后对教师提出的问题进行类型和数量两个维度的分析。结果显示，教师提出的问题类型较为单一，大部分是能够一步解决的简单问题。
三、问题提出、问题解决的认知过程与表现
问题提出与问题解决过程也是调动和发展学生认知的过程，因此，了解学习者在问题提出和问题解决中的认知过程和表现是非常重要的。在专题小组研究的项目中，共有12项研究涉及这一内容，其中9项研究主要关注学习者在问题提出和问题解决中的认知过程或模式，其余3项研究主要考察学习者在完成问题提出和问题解决任务上的表现。
（一）问题提出与问题解决的认知过程
Wang和Walkington基于现实情境，考察了9名8～10岁学生在校外参与WalkSTEM俱乐部活动过程中的问题提出情况。该研究为学生提供了四个现实情境（回声屋、餐厅、穹顶及大数屋），让学生基于自己所看到的现实物体提出数学问题。研究发现，学生能够在现实情境中提出超出自己知识水平的问题，同伴和教师的支持是影响学生问题提出的重要因素。
Hartmann等人在关注学生问题提出能力的同时考察学生解决自己提出的问题的能力。该研究为82名来自德国的9～10年级学生提供了6个现实情境，要求学生基于每一种情境提出一个问题，随后解决自己提出的问题。研究者采用Mayring（2015）的方法分析学生提出的问题：是否数学问题、是否同一个问题、是否开放性问题、是否现实问题。结果表明，现实情境有助于学生提出数学问题并提升他们的数学建模能力。然而，学生更倾向于提出封闭性问题，这也是未来问題提出教学需要进一步关注的情况。
Huat以一个9年级学生作为案例，考察该学生在面临一个几何任务时的问题提出过程。该研究详细描述和分析了学生在问题提出每一个阶段的具体表现，从而为教师和研究者提供了了解学生问题提出认知过程和设计问题提出教学任务的具体实例。其中认知过程主要包括：关注性质、关注问题结构、检查结果及回溯。
Ramírez建构了一个问题提出的启发式教学流程，该流程类似于学习者的认知过程，包括六个阶段：选择、分类、联想、查找、口头表达、转换。尽管这一针对问题提出的启发式教学流程与学生的认知过程很难区分，但它能够具体地刻画问题提出教学过程。
Baumanns和Rott指出，尽管目前有很多关于问题解决过程的模型，但问题提出却缺乏类似的过程模型，因此他们在综合已有研究基础上构建了问题提出五阶段模型，包括分析、变化、一般化、问题解决和评价，具体如图1所示。
Stéphane考察了学生在课堂上解决常规数学问题的认知过程。他对Rott等人（2021）提出的问题解决过程一维模型（图2）进行改造，新增了监控维度，从而形成能够刻画学生解决常规数学问题实际过程的二维模型（图3）。此外，Bos和Lemmink设计了一个名为启发树的工具来激发学生解决问题的能力，该工具能够帮助学生在遇到困难时将问题进行分解，从而一步一步地解决。
（二）学生问题提出和问题解决表现
Yan和Dong运用三个任务（无情境、半结构化情境、结构化情境）调查了我国新疆地区238名五年级学生的问题提出能力。研究者让学生分别提出2个容易问题、2个中等难度问题以及2个较难问题，并采用创造性思维评价维度（创新性、灵活性、复杂性）评估学生所提出的问题。研究发现，女生问题提出能力高于男生，汉族学生能够提出更多数学问题，维吾尔族学生和汉族学生提出问题的能力无显著差异，学生提出问题能力与其数学成绩存在显著相关性。
Luo等人从国际比较视角，对比了我国内蒙古地区58名学生和美国蒙大拿地区28名五年级学生在除法学习上的问题提出表现。该研究主要通过问题提出方式了解学生对除法运算意义的理解。研究发现，学生提出的大部分问题涉及分数的平均分思想或对物体进行分组，其中涉及的情境主要以食物为主。中国学生所提问题涉及六类结构（均分、包含除、等分除、部分—整体、比较、比率或速率），而美国学生仅提出涉及前两类结构的问题。
Yazgan等人考察了18个来自6、7、8三个年级的优等生在“不同问题间策略转换的灵活性”和“同一问题内部策略转变的灵活性”等方面的表现。研究发现，被试学生在“不同问题间策略转换的灵活性”方面的表现较好，且整体而言，优等生对问题解决策略使用的灵活性普遍较好。但该研究仅调查优等生的表现，难以帮助读者了解一般水平学生的表现，这也是未来需要进一步研究的方向。
四、技术手段对问题提出、问题解决教学的影响
关于技术在数学教育中的应用已有很多学者进行了尝试和研究。一系列研究表明，技术有助于学生在计算、建模及项目学习中转换问题、解决问题、描述解决方案[6]。
Hernández等人考察了GeoGebra软件对职前初中数学教师问题解决的影响。研究结果表明，职前数学教师在运用GeoGebra解决问题时表现出较高的创造力和推理能力，因为该工具的动态特性能够为教师提供新的途径来表征数学对象、转换表征方式、形成猜想以及观察和证明性质。
教师在课堂上无法估计所有学生的问题，针对这一现状，Pozdniakov等人考察了如何运用几何软件帮助学生自主解决空间几何问题。该研究对波利亚的问题解决过程进行扩展，在其基础上增加了考察问题所涉及的范围、简化问题、构建子问题、改编原始问题等环节。研究者采用质性研究方法，描述了学生在这一过程中遇到的问题，以及动态几何软件如何帮助学生解决问题或产生新的问题。研究表明，动态几何软件能够为学生提供更多学习机会和更自由的学习环境，而且能够在学生遇到困难时自动提供初步的反馈，帮助学生解决问题。
从以上研究可以发现，目前关于技术使用对学生数学学习的作用或影响还都仅限于问题解决领域，尽管Barana等人的研究提及运用计算机技术有助于学生提出新的数学问题，但整体而言，关于计算机技术对学生问题提出的作用的研究还比较缺乏。一方面由于问题提出研究还处于起步阶段，另一方面由于技术在数学教育领域的应用也还不够深入。此外，主题小组有关计算机技术的相关研究都仅限于空间几何领域，缺乏在其他数学领域的运用研究，这也是未来需要进一步研究的方向。
五、总结
ICME-14会议的“TSG17”主题研究小组聚焦于问题提出和问题解决，为我们了解该领域研究进展和教学状况提供了非常重要且便捷的途径。通过对这些研究进行梳理和介绍，可以提出未来亟须进一步研究的问题：（1）作为期望课程的课程标准和教材、教学之间依然存在差距，应关注如何设计适合学生问题提出和问题解决的任务，如何以问题提出与问题解决为载体促进教师的专业发展;（2）对问题提出与思维发展之间的关系的研究尚浅，需关注如何运用问题提出发展学生的数学推理和数学思维等能力;（3）关于提出问题的认知过程与模式的研究不够深入，需关注学习者提出数学问题的认知过程或模式是什么樣的;（4）信息技术辅助教学是未来发展的重要方向之一，需关注如何运用计算机等技术手段开展问题提出与问题解决教学。
参考文献：
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[5]YAO Y， HWANG S， CAI J. Preservice teachers’ mathematical understanding exhibited in problem posing and problem solving[J]. ZDM：
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（1.杭州师范大学经亨颐教育学院 311121 2.浙江外国语学院 310023）
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