相似三角形与圆的综合考题 1、已知：如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上一点，过E作⊙O的切线ED，切点为C，AD⊥ED交ED于点D，交⊙O于点F，CG⊥AB交AB于点G． 求证：BG•AG=DF•DA． 2、已知：如图，AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F． (1)求证：DE为⊙O的切线． (2)求证：AB：AC=BF：DF． 3、(南通)已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，DE⊥AC，E为垂足． (1)求证：∠ADE=∠B；
(2)过点O作OF∥AD，与ED的延长线相交于点F，求证：FD•DA=FO•DE． 4、如图，AB为⊙O的直径，BF切⊙O于点B，AF交⊙O于点D，点C在DF上，BC交⊙O于点E，且∠BAF=2∠CBF，CG⊥BF于点G，连接AE． (1)直接写出AE与BC的位置关系；
(2)求证：△BCG∽△ACE；
(3)若∠F=60°，GF=1，求⊙O的半径长． 5、如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF． (1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？ (3)在(2)的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长． 6、如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF． (1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？ (3)在(2)的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长． 7、如是⊙O的直径，CB、CD分别切⊙O于B、D两点，点E在CD的延长线上，且CE=AE+BC；
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)过点D作DF⊥AB于点F，连接BE交DF于点M，求证：DM=MF． 8、已知：如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，连结BD并延长，使CD=BD，连结AC。过点D作DE⊥ AC，垂足是点E．过点B作BE⊥AB，交ED延长线于点F，连结OF。
求证：(1)EF是⊙O的切线；
(2)△OBF∽△DEC。
9、如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O 切线，交OD的延长线于点E，连结BE． (1)求证：BE与⊙O相切；
(2)连结AD并延长交BE于点F，若OB＝6，且sin∠ABC＝，求BF的长． 10、如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，OE交AD于点 F。
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若，求的值；
(3)在(2)的条件下，若⊙O直径为10，求△EFD的面积． 11、已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，以AB为直径作⊙O，BC交⊙O于点D，E是边AC的中点，ED、AB的延长线相交于点F． 求证：
(1)DE为⊙O的切线． (2)AB•DF=AC•BF． 12、如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O与边BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，延长AB、ED交于点F，AD平分∠BAC． (1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若AE=3，AB=4，求图中阴影部分的面积． 13、知AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C且，弦CD交AB于E，BF⊥l，垂足为F，BF交⊙O于G。
(1)求证：CE2=FG·FB；
(2)若tan∠CBF=，AE=3，求⊙O的直径。
14.如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC平分∠BCD，BD交AC于点F，过点A作圆的切线AE交CB的延长线于E. 求证：①AE∥BD；
②AD 2 = DF·AE 15、已知：□ABCD，过点D作直线交AC于E，交BC于F，交AB的延长线于G，经过B、G、F三点作⊙O，过E作⊙O的切线ET，T为切点. 求证：ET = ED 16、如图，△ABC中，AB = AC，O是BC上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆与AC相切于点A，过点C作CD⊥BA，垂足为D. 求证：（1） ∠DAC = 2∠B；
（2） CA 2 = CD·CO 相似三角形与圆的综合考题（教师版） 1、已知：如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上一点，过E作⊙O的切线ED，切点为C，AD⊥ED交ED于点D，交⊙O于点F，CG⊥AB交AB于点G． 求证：BG•AG=DF•DA． 证明：连接BC，FC，CO， ∵过E作⊙O的切线ED， ∴∠DCF=∠CAD， ∠D=∠D， ∴△CDF∽△ADC， ∴=， ∴CD2=AD×DF， ∵CG⊥AB，AB为直径， ∴∠BCA=∠AGC=∠BGC=90°， ∴∠GBC+∠BCG=90°，∠BCG+∠GCA=90°， ∴∠GBC=∠ACG， ∴△BGC∽△CGA， ∴=， ∴CG2=BG×AG， ∵过E作⊙O的切线ED，∴OC⊥DE， ∵AD⊥DE，∴CO∥AD， ∴∠OCA=∠CAD， ∵AO=CO， ∴∠OAC=∠OCA， ∴∠OAC=∠CAD， 在△AGC和△ADC中， ， ∴△AGC≌△ADC（AAS）， ∴CG=CD， ∴BG×AG=AD×DF． 2、已知：如图，AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F． (1)求证：DE为⊙O的切线． (2)求证：AB：AC=BF：DF． 3、(南通)已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，DE⊥AC，E为垂足． (1)求证：∠ADE=∠B；
(2)过点O作OF∥AD，与ED的延长线相交于点F，求证：FD•DA=FO•DE． 解：（1）方法一：
证明：连接OD， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°，即AD⊥BC． 又∵AB=AC， ∴AD平分∠BAC，即∠OAD=∠CAD． ∴∠ODA=∠DAE=∠OAD． ∵∠ADE+∠DAE=90°， ∴∠ADE+∠ODA=90°，即∠ODE=90°，OD⊥DE． ∵OD是⊙O的半径， ∴EF是⊙O的切线． ∴∠ADE=∠B． 方法二：
∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°，又DE⊥AC， ∴∠DEA=90°， ∴∠ADB=∠DEA， ∵△ABC中，AB=AC，AD⊥BC， ∴AD平分∠BAC，即∠DAE=∠BAD． ∴△DAE∽△BAD． ∴∠ADE=∠B． （2）证明：∵OF∥AD， ∴∠F=∠ADE． 又∵∠DEA=∠FDO（已证）， ∴△FDO∽△DEA． ∴FD：DE=FO：DA，即FD•DA=FO•DE． 点评：本题主要考查了切线的判定、弦切角定理、圆周角定理、相似三角形的判定和性质；
（2）题乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过相似三角形的性质得以证明． 4、如图，AB为⊙O的直径，BF切⊙O于点B，AF交⊙O于点D，点C在DF上， BC交⊙O于点E，且∠BAF=2∠CBF，CG⊥BF于点G，连接AE． (1)直接写出AE与BC的位置关系；
(2)求证：△BCG∽△ACE；
(3)若∠F=60°，GF=1，求⊙O的半径长． 解：（1）如图1， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB=90°． ∴AE⊥BC． （2）如图1， ∵BF与⊙O相切， ∴∠ABF=90°． ∴∠CBF=90°-∠ABE=∠BAE． ∵∠BAF=2∠CBF． ∴∠BAF=2∠BAE． ∴∠BAE=∠CAE． ∴∠CBF=∠CAE． ∵CG⊥BF，AE⊥BC， ∴∠CGB=∠AEC=90°． ∵∠CBF=∠CAE，∠CGB=∠AEC， ∴△BCG∽△ACE． （3）连接BD，如图2所示． ∵∠DAE=∠DBE，∠DAE=∠CBF， ∴∠DBE=∠CBF． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°． ∴BD⊥AF． ∵∠DBC=∠CBF，BD⊥AF，CG⊥BF， ∴CD=CG． ∵∠F=60°，GF=1，∠CGF=90°， ∴tan∠F==CG=tan60°= ∵CG=， ∴CD=． ∵∠AFB=60°，∠ABF=90°， ∴∠BAF=30°． ∵∠ADB=90°，∠BAF=30°， ∴AB=2BD． ∵∠BAE=∠CAE，∠AEB=∠AEC， ∴∠ABE=∠ACE． ∴AB=AC． 设⊙O的半径为r，则AC=AB=2r，BD=r． ∵∠ADB=90°， ∴AD=r． ∴DC=AC-AD=2r-r=（2-）r=． ∴r=2+3． ∴⊙O的半径长为2+3． 解析：
（1）由AB为⊙O的直径即可得到AE与BC垂直． （2）易证∠CBF=∠BAE，再结合条件∠BAF=2∠CBF就可证到∠CBF=∠CAE，易证∠CGB=∠AEC，从而证到△BCG∽△ACE． （3）由∠F=60°，GF=1可求出CG=；
连接BD，容易证到∠DBC=∠CBF，根据角平分线的性质可得DC=CG=；
设圆O的半径为r，易证AC=AB，∠BAD=30°，从而得到AC=2r，AD=r，由DC=AC-AD=可求出⊙O的半径长． 5、如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF． (1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？ (3)在(2)的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长． 分析：（1）连接OC，证明∠OCP=90°即可． （2）乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过证明三角形相似得出． （3）可以先根据勾股定理求出DH，再通过证明△OGA≌△OHD，得出AC=2AG=2DH，求出弦AC的长． 解答：（1）证明：连接OC． ∵PC=PF，OA=OC， ∴∠PCA=∠PFC，∠OCA=∠OAC， ∵∠PFC=∠AFH，DE⊥AB， ∴∠AHF=90°， ∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠AFH+∠FAH=90°， ∴PC是⊙O的切线． （2）解：点D在劣弧AC中点位置时，才能使AD2=DE•DF，理由如下：
连接AE． ∵点D在劣弧AC中点位置， ∴∠DAF=∠DEA， ∵∠ADE=∠ADE， ∴△DAF∽△DEA， ∴AD：ED=FD：AD， ∴AD2=DE•DF． （3）解：连接OD交AC于G． ∵OH=1，AH=2， ∴OA=3，即可得OD=3， ∴DH===2． ∵点D在劣弧AC中点位置， ∴AC⊥DO， ∴∠OGA=∠OHD=90°， 在△OGA和△OHD中， ， ∴△OGA≌△OHD（AAS）， ∴AG=DH， ∴AC=4． 点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了相似三角形的性质及全等三角形的性质． 6、如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF． (1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？ (3)在(2)的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长． （1）证明：连接OC． ∵PC=PF，OA=OC， ∴∠PCA=∠PFC，∠OCA=∠OAC， ∵∠PFC=∠AFH，DE⊥AB， ∴∠AHF=90°， ∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠AFH+∠FAH=90°， ∴PC是⊙O的切线． （2）解：点D在劣弧AC中点位置时，才能使AD2=DE•DF，理由如下：
连接AE． ∵点D在劣弧AC中点位置， ∴∠DAF=∠DEA， ∵∠ADE=∠ADE， ∴△DAF∽△DEA， ∴AD：ED=FD：AD， ∴AD2=DE•DF． （3）解：连接OD交AC于G． ∵OH=1，AH=2， ∴OA=3，即可得OD=3， ∴DH===2． ∵点D在劣弧AC中点位置， ∴AC⊥DO， ∴∠OGA=∠OHD=90°， 在△OGA和△OHD中， ， ∴△OGA≌△OHD（AAS）， ∴AG=DH， ∴AC=4． 解析：
（1）连接OC，证明∠OCP=90°即可． （2）乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过证明三角形相似得出． （3）可以先根据勾股定理求出DH，再通过证明△OGA≌△OHD，得出AC=2AG=2DH，求出弦AC的长。
7、如图，AB是⊙O的直径，CB、CD分别切⊙O于B、D两点，点E在CD的延长线上，且CE=AE+BC；
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)过点D作DF⊥AB于点F，连接BE交DF于点M，求证：DM=MF． 证明：（1）连接OD，OE， ∵CB、CD分别切⊙O于B、D两点， ∴∠ODE=90°，CD=CE， ∵CE=AE+BC，CE=CD+DE， ∴AE=DE， ∵OD=OA，OE=OE， ∴△ODE≌△OAE（SSS）， ∴∠OAE=∠ODE=90°， ∴OA⊥AE， ∴AE是⊙O的切线；
（2）∵DF⊥AB，AE⊥AB，BC⊥AB， ∴AE∥DF∥BC， ∴△BMF∽△BEA， ∴， ∴， ∴ ∵△EDM∽△ECB， ∴， ∴， ∴DM=MF． 解析：
（1）首先连接OD，OE，由CB、CD分别切⊙O于B、D两点，即可得∠ODE=90°，CD=CE，又由CE=AE+BC，CE=CD+DE，即可证得AE=DE，则可得△ODE≌△OAE，即可证得AE是⊙O的切线；
（2）首先易证得AE∥DF∥BC，然后由平行线分线段成比例定理，求得比例线段，将比例线段变形，即可求得DM=MF． 8、已知：如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，连结BD并延长，使CD=BD，连结AC。过点D作DE⊥ AC，垂足是点E．过点B作BE⊥AB，交ED延长线于点F，连结OF。
求证：(1)EF是⊙O的切线；
(2)△OBF∽△DEC。
证明：（1）连结OD， ∵AB是⊙O的直径， ∴OA=OB， 又∵CD=BD， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴∠DEC=90°，∠ODE=90°， ∵点D是⊙O上一点， ∴EF是⊙O的切线。
（2）∵BF⊥AB，AB是⊙O的直径， ∴BF是⊙O的切线， ∵EF是⊙O的切线， ∴∠BFO=∠DFO，FB=FD， ∴OF⊥BD， ∵∠FDB=∠CDE， ∴∠OFD=∠C， ∴∠C=∠OFB， 又∵∠CED=∠FBO=90°， ∴△OBF∽△DEC。 9、如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O 切线，交OD的延长线于点E，连结BE． (1)求证：BE与⊙O相切；
(2)连结AD并延长交BE于点F，若OB＝6，且sin∠ABC＝，求BF的长． 解：（1）连结CO，∵OD⊥BC，∴∠1＝∠2，再由CO＝OB，OE公共， ∴△OCE≌△OBE（SAS ） ∴∠OCE＝∠OBE， 又CE是切线，∠OCE＝90°，∴∠OBE＝90°∴BE与⊙O相切 （2）备用图中，作DH⊥OB于H，H为垂足， ∵在Rt△ODB中，OB＝6，且sin∠ABC＝，∴OD＝4， 同理Rt△ODH∽Rt△ODB，∴DH＝，OH＝ 又∵Rt△ABF∽Rt△AHD，∴FB︰DH＝AB︰AH， ∴FB＝ 考点：切线定义，全等三角形判定，相似三角形性质及判定。
点评：熟知以上定义性质，根据已知可求之，本题有一定的难度，需要做辅助线。但解法不唯一，属于中档题。
10、如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，OE交AD于点 F。
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若，求的值；
(3)在(2)的条件下，若⊙O直径为10，求△EFD的面积． 试题分析：
（1）连接OD，根据角平分线定义和等腰三角形的性质可得∠CAD=∠ODA，推出OD∥AC，根据平行线性质和切线的判定推出即可；
（2）先由（1）得OD∥AE，再结合平行线分线段成比例定理即可得到答案；
（3）根据三角形的面积公式结合圆的基本性质求解即可. （1）连接OD 因为OA =“ OD“ 所以∠OAD = ∠ODA 又已知∠OAD = ∠DAE 可得∠ODA = ∠DAE ， 所以OD‖AC ， 又已知DE⊥AC 可得DE⊥OD 所以DE是⊙O的切线；
（2）由（1）得OD∥AE， （3） 考点：圆的综合题 点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大. 11、已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，以AB为直径作⊙O，BC交⊙O于点D，E是边AC的中点，ED、AB的延长线相交于点F． 求证：
(1)DE为⊙O的切线． (2)AB•DF=AC•BF． 证明：（1）如图，连接OD、AD． ∵OD=OA， ∴∠2=∠3， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠BDA=90°， ∴∠CDA=90°． 又 ∵E是边AC的中点， ∴DE=AE=AC， ∴∠1=∠4， ∴∠4+∠3=∠1+∠2=90°，即°． 又∵AB是⊙O的直径， ∴DE为⊙O的切线；
（2）如图，∵AB⊥AC，AD⊥BC， ∴∠3=∠C（同角的余角相等）． 又∵∠ADB=∠CDA=90°， ∴△ABD∽△CAD， ∴ 易证△FAD∽△FDB， ∴， ∴， ∴AB•DF=AC•BF． 解析：
（1）连接OD、AD，求出CDA=∠BDA=90°，点E为AC中点，求出∠1=∠4，∠2=∠3，推出∠4+∠3=∠1+∠2=90°，根据切线的判定即可；
（2）证△ABD∽△CAD，推出，再证△FAD∽△FDB，推出，得，即可得出AB•DF=AC•BF． 12、如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O与边BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，延长AB、ED交于点F，AD平分∠BAC． (1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若AE=3，AB=4，求图中阴影部分的面积． 解：（1）连接OD． ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， ∵AD平分∠BAC， ∴∠OAD=∠CAD， ∴∠ODA=∠CAD， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴∠DEA=90°， ∴∠ODF=∠DEA=90°， ∵OD是半径， ∴EF是⊙O的切线． （2）∵AB为⊙O的直径，DE⊥AC， ∴∠BDA=∠DEA=90°， ∵∠BAD=∠CAD， ∴△BAD∽△DAE， ∴， 即， ∴AD=2， ∴cos∠BAD=， ∴∠BAD=30°，∠BOD=2∠BAD=60°， ∴BD=AB=2， ∴S△BOD=S△ABD=××2×2=， ∴S阴影=S扇形BOD-S△BOD= 解析：
（1）根据等腰三角形性质和角平分线性质得出∠OAD=∠ODA=∠DAE，推出OD∥AC，推出OD⊥EF，根据切线的判定推出即可；
（2）证△BAD∽△DAE，求出AD长，根据锐角三角函数的定义求出∠BAD=30°，求出∠BOD=60°和求出BD=2=OB=OD，求出扇形BOD和△BOD的面积，相减即可． 13、知AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C且，弦CD交AB于E，BF⊥l，垂足为F，BF交⊙O于G。
(1)求证：CE2=FG·FB；
(2)若tan∠CBF=，AE=3，求⊙O的直径。
解：（1）证明：连结AC， ∵AB为直径，∠ACB=90°， ∵，且AB是直径， ∴AB⊥CD即CE是Rt△ABC的高， ∴∠A=∠ECB，∠ACE=∠EBC， ∵CE是⊙O的切线， ∴∠FCB=∠A，CF2=FG·FB， ∴∠FCB=∠ECB， ∵∠BFC=∠CEB=90°，CB=CB， ∴△BCF≌△BCE， ∴CE=CF，∠FBC=∠CBE， ∴CE2=FG·FB；
（2）∵∠CBF=∠CBE，∠CBE=∠ACE， ∴∠ACE=∠CBF， ∴tan∠CBF=tan∠ACE==， ∵AE=3， ∴CE=6， 在Rt△ABC中，CE是高， ∴CE2=AE·EB，即62=3EB， ∴EB=12， ∴⊙O的直径为：12+3=15。 14.如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC平分∠BCD，BD交AC于点F，过点A作圆的切线AE交CB的延长线于E. 求证：①AE∥BD；
②AD 2 = DF·AE 证明：①∵AE为圆的切线， ∴∠EAB=∠ACE（弦切角等于夹弧所对的圆周角）， ∵CA为∠BCD的平分线， ∴∠ACE=∠ACD， ∵∠ABD=∠ACD， ∴∠EAB=∠ABD， ∴AE∥BD；
②∵AE∥BD， ∴∠AEC=∠DBC， ∵∠DBC=∠DAC， ∴∠AEC=∠DAC， ∵∠EAB=∠ADB（弦切角等于夹弧所对的圆周角）， ∴△ABE∽△DFA， ∴ ∵∠ACE=∠ACD， ∴ ∴AD=AB， 则AD•AB=AD2=AE•DF． 15、已知：□ABCD，过点D作直线交AC于E，交BC于F，交AB的延长线于G，经过B、G、F三点作⊙O，过E作⊙O的切线ET，T为切点. 求证：ET = ED 证明：因为四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC ∴∠EAD=∠ECF ∠EDA=∠EFC ∴△AED∽△CEF(AA) ∴ ∵AB平行DC ∴∠EAG=∠ECD ∠G=∠EDC ∴△AEG∽△CED（AA) ∴ ∴ ∵ET与⊙O相切于点T ∴ ∴ ∴ 16、如图，△ABC中，AB = AC，O是BC上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆与AC相切于点A，过点C作CD⊥BA，垂足为D. 求证：
（1） ∠DAC = 2∠B；
（2） CA 2 = CD·CO 证明：（1）如图,由已知△ABC中,AB=AC 得 △ABC为等腰三角形,∠B=∠ACB 外角∠1=∠B+∠ACB=2∠B 又由已知O是BC上一点,以O为圆心,OB长为半径的圆与AC相切于点A 得△OAB为等腰三角形,∠B=∠OAB,OA⊥AC 外角∠2=∠B+∠OAB=2∠B ∠OAC=90°即∠1=∠2，△OAC为直角三角形 由已知过C作CD⊥BA的延长线于D，得∠ADC=90°，△ADC为直角三角形 在直角三角形△OAC和△ADC中 ∠1=∠2,∠OAC=∠ADC=90° ∴△OAC∽△ADC 则CA/CO=CD/CA，即∴CA²=CD·CO
