相似三角形专题试题解析

相似形专题 1．（2017•阿坝州）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点． （1）求证：BD=CE；

（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长；

【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°， ∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE． ∴△ADB≌△AEC． ∴BD=CE． （2）解：①当点E在AB上时，BE=AB﹣AE=1． ∵∠EAC=90°， ∴CE==． 同（1）可证△ADB≌△AEC． ∴∠DBA=∠ECA． ∵∠PEB=∠AEC， ∴△PEB∽△AEC． ∴=． ∴=． ∴PB=． ②当点E在BA延长线上时，BE=3． ∵∠EAC=90°， ∴CE==． 同（1）可证△ADB≌△AEC． ∴∠DBA=∠ECA． ∵∠BEP=∠CEA， ∴△PEB∽△AEC． ∴=． ∴=． ∴PB=． 综上所述，PB的长为或． 　 2．（2017•常德）如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F． （1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；

（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；
②AG2=AF•AC． 【解答】证明：（1）在Rt△ABE和Rt△DBE中，， ∴△ABE≌△DBE；

（2）①过G作GH∥AD交BC于H， ∵AG=BG， ∴BH=DH， ∵BD=4DC， 设DC=1，BD=4， ∴BH=DH=2， ∵GH∥AD， ∴==， ∴GM=2MC；

②过C作CN⊥AC交AD的延长线于N，则CN∥AG， ∴△AGM∽△NCM， ∴=， 由①知GM=2MC， ∴2NC=AG， ∵∠BAC=∠AEB=90°， ∴∠ABF=∠CAN=90°﹣∠BAE， ∴△ACN∽△BAF， ∴=， ∵AB=2AG， ∴=， ∴2CN•AG=AF•AC， ∴AG2=AF•AC． 3．（2017•杭州）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC． （1）求证：△ADE∽△ABC；

（2）若AD=3，AB=5，求的值． 【解答】解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE， ∴∠AFE=∠AGC=90°， ∵∠EAF=∠GAC， ∴∠AED=∠ACB， ∵∠EAD=∠BAC， ∴△ADE∽△ABC， （2）由（1）可知：△ADE∽△ABC， ∴= 由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°， ∴∠EAF=∠GAC， ∴△EAF∽△CAG， ∴， ∴= 4．（2017•眉山）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G． （1）求证：BG=DE；

（2）若点G为CD的中点，求的值． 【解答】解：（1）∵BF⊥DE， ∴∠GFD=90°， ∵∠BCG=90°，∠BGC=∠DGF， ∴∠CBG=∠CDE， 在△BCG与△DCE中， ∴△BCG≌△DCE（ASA）， ∴BG=DE， （2）设CG=1， ∵G为CD的中点， ∴GD=CG=1， 由（1）可知：△BCG≌△DCE（ASA）， ∴CG=CE=1， ∴由勾股定理可知：DE=BG=， ∵sin∠CDE==， ∴GF=， ∵AB∥CG， ∴△ABH∽△CGH， ∴=， ∴BH=，GH=， ∴= 5．（2017•河池）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；

（2）如图2，将 （1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=∠C，AB=BC． ∵AE⊥BF， ∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°， ∵∠ABM+∠CBF=90°， ∴∠BAM=∠CBF． 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴AE=BF；

（2）解：AE=BF， 理由：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠C， ∵AE⊥BF， ∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°， ∵∠ABM+∠CBF=90°， ∴∠BAM=∠CBF， ∴△ABE∽△BCF， ∴=， ∴AE=BF． 6．（2017•泰安）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD． （1）证明：∠BDC=∠PDC；

（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长． 【解答】（1）证明：∵AB=AD，AC平分∠BAD， ∴AC⊥BD， ∴∠ACD+∠BDC=90°， ∵AC=AD， ∴∠ACD=∠ADC， ∴∠ADC+∠BDC=90°， ∵PD⊥AD， ∴∠ADC+∠PDC=90°， ∴∠BDC=∠PDC；

（2）解：过点C作CM⊥PD于点M， ∵∠BDC=∠PDC， ∴CE=CM， ∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P， ∴△CPM∽△APD， ∴=， 设CM=CE=x， ∵CE：CP=2：3， ∴PC=x， ∵AB=AD=AC=1， ∴=， 解得：x=， 故AE=1﹣=． 7．（2017•天水）△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q． （1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；

（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；
并求当BP=2，CQ=9时BC的长． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=45°，AB=AC， ∵AP=AQ， ∴BP=CQ， ∵E是BC的中点， ∴BE=CE， 在△BPE和△CQE中， ∵， ∴△BPE≌△CQE（SAS）；

（2）解：∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=∠DEF=45°， ∵∠BEQ=∠EQC+∠C， 即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C， ∴∠BEP+45°=∠EQC+45°， ∴∠BEP=∠EQC， ∴△BPE∽△CEQ， ∴=， ∵BP=2，CQ=9，BE=CE， ∴BE2=18， ∴BE=CE=3， ∴BC=6． 8．（2017•绥化）如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分∠DEB，F为CE的中点，连接AF，BF，过点E作EH∥BC分别交AF，CD于G，H两点． （1）求证：DE=DC；

（2）求证：AF⊥BF；

（3）当AF•GF=28时，请直接写出CE的长． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠DCE=∠CEB， ∵EC平分∠DEB， ∴∠DEC=∠CEB， ∴∠DCE=∠DEC， ∴DE=DC；

（2）如图，连接DF， ∵DE=DC，F为CE的中点， ∴DF⊥EC， ∴∠DFC=90°， 在矩形ABCD中，AB=DC，∠ABC=90°， ∴BF=CF=EF=EC， ∴∠ABF=∠CEB， ∵∠DCE=∠CEB， ∴∠ABF=∠DCF， 在△ABF和△DCF中， ， ∴△ABF≌△DCF（SAS）， ∴∠AFB=∠DFC=90°， ∴AF⊥BF；

（3）CE=4． 理由如下：∵AF⊥BF， ∴∠BAF+∠ABF=90°， ∵EH∥BC，∠ABC=90°， ∴∠BEH=90°， ∴∠FEH+∠CEB=90°， ∵∠ABF=∠CEB， ∴∠BAF=∠FEH， ∵∠EFG=∠AFE， ∴△EFG∽△AFE， ∴=，即EF2=AF•GF， ∵AF•GF=28， ∴EF=2， ∴CE=2EF=4． 9．（2017•雨城区校级自主招生）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE． （1）如图1，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；

（2）如图2，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由． 【解答】（1）证明：如图1，过点D作DF⊥BC，交AB于点F， 则∠BDE+∠FDE=90°， ∵DE⊥AD， ∴∠FDE+∠ADF=90°， ∴∠BDE=∠ADF， ∵∠BAC=90°，∠ABC=45°， ∴∠C=45°， ∵MN∥AC， ∴∠EBD=180°﹣∠C=135°， ∵∠BFD=45°，DF⊥BC， ∴∠BFD=45°，BD=DF， ∴∠AFD=135°， ∴∠EBD=∠AFD， 在△BDE和△FDA中 ， ∴△BDE≌△FDA（ASA）， ∴AD=DE；

（2）解：DE=AD， 理由：如图2，过点D作DG⊥BC，交AB于点G， 则∠BDE+∠GDE=90°， ∵DE⊥AD， ∴∠GDE+∠ADG=90°， ∴∠BDE=∠ADG， ∵∠BAC=90°，∠ABC=30°， ∴∠C=60°， ∵MN∥AC， ∴∠EBD=180°﹣∠C=120°， ∵∠ABC=30°，DG⊥BC， ∴∠BGD=60°， ∴∠AGD=120°， ∴∠EBD=∠AGD， ∴△BDE∽△GDA， ∴=， 在Rt△BDG中，=tan30°=， ∴DE=AD． 10．（2017•深圳模拟）如图1，边长为2的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，且AE=AB，点P从点D出发，以每秒1个单位长度沿D→C→B向终点B运动，直线EP交AD于点F，过点F作直线FG⊥DE于点G，交AB于点R． （1）求证：AF=AR；

（2）设点P运动的时间为t， ①求当t为何值时，四边形PRBC是矩形？ ②如图2，连接PB．请直接写出使△PRB是等腰三角形时t的值． 【解答】（1）证明：如图，在正方形ABCD中，AD=AB=2， ∵AE=AB， ∴AD=AE， ∴∠AED=∠ADE=45°， 又∵FG⊥DE， ∴在Rt△EGR中，∠GER=∠GRE=45°， ∴在Rt△ARF中，∠FRA=∠AFR=45°， ∴∠FRA=∠RFA=45°， ∴AF=AR；

（2）解：①如图，当四边形PRBC是矩形时， 则有PR∥BC， ∴AF∥PR， ∴△EAF∽△ERP， ∴，即：由（1）得AF=AR， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， ∵点P从点D出发，以每秒1个单位长度沿D→C→B向终点B运动， ∴（秒）；

②若PR=PB， 过点P作PK⊥AB于K， 设FA=x，则RK=BR=（2﹣x）， ∵△EFA∽△EPK， ∴， 即：=， 解得：x=±﹣3（舍去负值）；

∴t=（秒）；

若PB=RB， 则△EFA∽△EPB， ∴=， ∴， ∴BP=AB=×2= ∴CP=BC﹣BP=2﹣=， ∴（秒）． 综上所述，当PR=PB时，t=；
当PB=RB时，秒． 11．（2017•江汉区校级模拟）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO． （1）已知BD=，求正方形ABCD的边长；

（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴2AB2=BD2， ∵BD=， ∴AB=1， ∴正方形ABCD的边长为1；

（2）CN=2EM 证明方法一、理由：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA=OC ∵CF=CA，CE是∠ACF的平分线， ∴CE⊥AF，AE=FE ∴EO为△AFC的中位线 ∴EO∥BC ∴ ∴在Rt△AEN中，OA=OC ∴EO=OC=AC， ∴CM=EM ∵CE平分∠ACF， ∴∠OCM=∠BCN， ∵∠NBC=∠COM=90°， ∴△CBN∽△COM， ∴， ∴CN=CM， 即CN=2EM． 证明方法二、∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC=45°=∠DBC， 由（1）知，在Rt△ACE中，EO=AC=CO， ∴∠OEC=∠OCE， ∵CE平分∠ACF， ∴∠OCE=∠ECB=∠OEC， ∴EO∥BC， ∴∠EOM=∠DBC=45°， ∵∠OEM=∠OCE ∴△EOM∽△CAN， ∴， ∴CN=2CM． 12．（2017•济宁二模）将两块全等的三角板如图1摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°． （1）将图1中△A1B1C绕点C顺时针旋转45°得图2，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；

（2）在图2中，若AP1=a，则CQ等于多少？ （3）将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转到△A2B2C（如图3），点P2是A2C与AP1的交点．当旋转角为多少度时，有△AP1C∽△CP1P2？这时线段CP1与P1P2之间存在一个怎样的数量关系？． 【解答】（1）证明：∵∠B1CB=45°，∠B1CA1=90°， ∴∠B1CQ=∠BCP1=45°；

又B1C=BC，∠B1=∠B， ∴△B1CQ≌△BCP1（ASA） ∴CQ=CP1；

（2）解：如图：作P1D⊥AC于D， ∵∠A=30°， ∴P1D=AP1；

∵∠P1CD=45°， ∴=sin45°=， ∴CP1=P1D=AP1；

又AP1=a，CQ=CP1， ∴CQ=a；

（3）解：当∠P1CP2=∠P1AC=30°时，由于∠CP1P2=∠AP1C，则△AP1C∽△CP1P2， 所以将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转30°到△A2B2C时，有△AP1C∽△CP1P2． 这时==， ∴P1P2=CP1． 13．（2017•惠阳区模拟）把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；
当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）． （1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；

（2）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm2），试探究y的最大值；

（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形． 【解答】（1）解：AP=2t ∵∠EDF=90°，∠DEF=45°， ∴∠CQE=45°=∠DEF， ∴CQ=CE=t， ∴AQ=8﹣t， t的取值范围是：0≤t≤5；

（2）过点P作PG⊥x轴于G，可求得AB=10，SinB=，PB=10﹣2t，EB=6﹣t， ∴PG=PBSinB=（10﹣2t） ∴y=S△ABC﹣S△PBE﹣S△QCE== ∴当（在0≤t≤5内），y有最大值，y最大值=（cm2） （3）若AP=AQ，则有2t=8﹣t解得：（s） 若AP=PQ，如图①：过点P作PH⊥AC，则AH=QH=，PH∥BC ∴△APH∽△ABC， ∴， 即， 解得：（s） 若AQ=PQ，如图②：过点Q作QI⊥AB，则AI=PI=AP=t ∵∠AIQ=∠ACB=90°∠A=∠A， ∴△AQI∽△ABC ∴即， 解得：（s） 综上所述，当或或时，△APQ是等腰三角形． 14．（2017•庐阳区一模）△ABC，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，一条直线DE与边AC相交于点D，与边AB相交于点E． （1）如图①，若DE将△ABC分成周长相等的两部分，则AD+AE等于多少；
（用a、b、c表示） （2）如图②，若AC=3，AB=5，BC=4．DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分，求AD；

（3）如图③，若DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分，且DE∥BC，则a、b、c满足什么关系？ 【解答】解：（1）∵DE将△ABC分成周长相等的两部分， ∴AD+AE=CD+BC+BE=（AB+AC+BC）=（a+b+c）；

（2）设AD=x，AE=6﹣x， ∵S△ADE=AD•AE•sinA=3， 即：x（6﹣x）•=3， 解得：x1=（舍去），x2=， ∴AD=；

（3）∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵=， ∴AD=b，AE=c， ∴bc=（a+b+c）， ∴=﹣1． 15．（2017•嘉兴模拟）已知：如图，四边形ABCD是正方形，∠PAQ=45°，将∠PAQ绕着正方形的顶点A旋转，使它与正方形ABCD的两个外角∠EBC和∠FDC的平分线分别交于点M和N，连接MN． （1）求证：△ABM∽△NDA；

（2）连接BD，当∠BAM的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以证明． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°， ∵BM、DN分别是正方形的两个外角平分线， ∴∠ABM=∠ADN=135°， ∵∠MAN=45°， ∴∠BAM=∠AND=45°﹣∠DAN， ∴△ABM∽△NDA；

（2）解：当∠BAM=22.5°时，四边形BMND为矩形；
理由如下：
∵∠BAM=22.5°，∠EBM=45°， ∴∠AMB=22.5°， ∴∠BAM=∠AMB， ∴AB=BM， 同理AD=DN， ∵AB=AD，∴BM=DN， ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠ABD=∠ADB=45°， ∴∠BDN=∠DBM=90° ∴∠BDN+∠DBM=180°， ∴BM∥DN ∴四边形BMND为平行四边形， ∵∠BDN=90°， ∴四边形BMND为矩形． 16．（2017•肥城市三模）如图，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M． （1）点G在BE上，且∠BDG=∠C，求证：DG•CF=DM•EG；

（2）在图中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长． 【解答】（1）证明：如图1所示， ∴D，E分别为AB，BC中点， ∴DE∥AC ∵DM∥EF， ∴四边形DEFM是平行四边形， ∴DM=EF， 如图2所示， ∵D、E分别是AB、BC的中点， ∴DE∥AC， ∴∠BDE=∠A，∠DEG=∠C， ∵∠AFE=∠A， ∴∠BDE=∠AFE， ∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC， ∵∠BDG=∠C， ∴∠GDE=∠FEC， ∴△DEG∽△ECF；

∴， ∴， ∴， ∴DG•CF=DM•EG；

（2）解：如图3所示， ∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B， ∴△BDG∽△BED， ∴， ∴BD2=BG•BE， ∵∠AFE=∠A，∠CFH=∠B， ∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠AFE﹣∠CFH=∠EFH， 又∵∠FEH=∠CEF， ∴△EFH∽△ECF， ∴=， ∴EF2=EH•EC， ∵DE∥AC，DM∥EF， ∴四边形DEFM是平行四边形， ∴EF=DM=DA=BD， ∴BG•BE=EH•EC， ∵BE=EC， ∴EH=BG=1． 17．（2017•肥城市模拟）△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF=∠B． （1）如图1，求证：DE•CD=DF•BE （2）D为BC中点如图2，连接EF． ①求证：ED平分∠BEF；

②若四边形AEDF为菱形，求∠BAC的度数及的值． 【解答】（1）证明：∵△ABC中，AB=AC， ∴∠B=∠C． ∵∠B+∠BDE+∠DEB=180°，∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°，∠EDF=∠B， ∴∠FDC=∠DEB， ∴△BDE∽△CFD， ∴， 即DE•CD=DF•BE；

（2）解：①由（1）证得△BDE∽△CFD， ∴， ∵D为BC中点， ∴BD=CD， ∴=， ∵∠B=∠EDF， ∴△BDE～△DFE， ∴∠BED=∠DEF， ∴ED平分∠BEF；

②∵四边形AEDF为菱形， ∴∠AEF=∠DEF， ∵∠BED=∠DEF， ∴∠AEF=60°， ∵AE=AF， ∴∠BAC=60°， ∵∠BAC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°， ∴△BED是等边三角形， ∴BE=DE， ∵AE=DE， ∴AE=AB， ∴=． 18．（2017•长宁区二模）如图，在△ABC 中，点P是AC边上的一点，过点P作与BC平行的直线PQ，交AB于点Q，点D在线段 BC上，联接AD交线段PQ于点E，且=，点G在BC延长线上，∠ACG的平分线交直线PQ于点F． （1）求证：PC=PE；

（2）当P是边AC的中点时，求证：四边形AECF是矩形． 【解答】（1）证明：∵PQ∥BC， ∴△AQE∽△ABD，△AEP∽△ADC， ∴=，， ∴=， ∵=， ∴=， ∴PC=PE；

（2）∵PF∥DG， ∴∠PFC=∠FCG， ∵CF平分∠PCG， ∴∠PCF=∠FCG， ∴∠PFC=∠FCG， ∴PF=PC， ∴PF=PE， ∵P是边AC的中点， ∴AP=CP， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵PQ∥CD， ∴∠PEC=∠DCE， ∴∠PCE=∠DCE， ∴∠PCE+∠PCF=（∠PCD+∠PCG）=90°， ∴∠ECF=90°， ∴平行四边形AECF是矩形． 19．（2017•安徽模拟）如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC． （1）求证：AB=GD；

（2）如图2，当CG=EG时，求的值． 【解答】解：（1）∵D、E分别是线段AC、BC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥AB，即EG∥AB， ∴∠FDG=∠A， ∵点F为线段AD的中点， ∴AF=DF， 在△ABF与△DGF中， ∴△ABF≌△DGF（ASA） ∴AB=GD （2）∵DE为△ABC的中位线， ∴DE=AB，CE=BC=AC ∵DG=AB， ∴EG=DE+DG ∴EG=AB ∵DE∥AB， ∴∠GEC=∠CBA， ∵AC=BC，CG=EG ∴△GEC∽△CBA ∴， 即， ∴ 　 20．（2017•蜀山区二模）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，线段BE、CD相交于点O，且∠DCB=∠EBC=∠A． （1）求证：△BOD∽△BAE；

（2）求证：BD=CE；

（3）若M、N分别是BE、CE的中点，过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗？为什么？ 【解答】（1）证明：∵∠BCO=∠CBO， ∴∠DOB=∠BCO+CBO=2∠BCO， ∵∠A=2∠BCO， ∴∠DOB=∠A， ∵∠ABE=∠ABE， ∴△BOD∽△BAE；

（2）解：延长CD，在CD延长线上取一点F，使BF=BD， ∴∠BDF=∠BFD， ∵∠BDF=∠ABO+∠DOB，∠BEC=∠ABO+∠A， 由（1）得∠BOD=∠A， ∴∠BDF=∠BEC， ∴∠BFD=∠BEC， 在△BFC与△CEB中，， ∴△BFC≌△CEB， ∴BD=BF， ∴BD=CE；

（3）解：AP=AQ， 理由：取BC的中点G，连接GM，GN， ∵M，N分别是BE，CD的中点， ∴GM，GN是中位线， ∴GM∥CE，GM=CE，GN∥BD，GN=BD， ∵BD=CE， ∴GM=GN， ∴∠3=∠4， ∵GM∥CE， ∴∠2=∠4， ∵GN∥BD， ∴∠3=∠1， ∴∠1=∠2， ∴AP=AQ． 21．（2017•石家庄二模）如图，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4．PE与AC交于点M，EF与AC交于点N，动点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，伴随点P的运动，矩形PEFG在射线AB上滑动；
动点K从点P出发沿折线PE﹣﹣EF以每秒1个单位长的速度匀速运动．点P、K同时开始运动，当点K到达点F时停止运动，点P也随之停止．设点P、K运动的时间是t秒（t＞0）． （1）当t=1时，KE=　1　，EN=　　；

（2）当t为何值时，△APM的面积与△MNE的面积相等？ （3）当点K到达点N时，求出t的值；

（4）当t为何值时，△PKB是直角三角形？ 【解答】解：（1）当t=1时，根据题意得，AP=1，PK=1， ∵PE=2， ∴KE=2﹣1=1， ∵四边形ABCD和PEFG都是矩形， ∴△APM∽△ABC，△APM∽△NEM， ∴=，=， ∴MP=，ME=， ∴NE=；

故答案为：1；
；

（2）由（1）并结合题意可得， AP=t，PM=t，ME=2﹣t，NE=﹣t， ∴t×t=（2﹣t）×（﹣t）， 解得，t=；

（3）当点K到达点N时，则PE+NE=AP， 由（2）得，﹣t+2=t， 解得，t=；

（4）①当K在PE边上任意一点时△PKB是直角三角形， 即，0＜t≤2；

②当点k在EF上时， 则KE=t﹣2，BP=8﹣t， ∵△BPK∽△PKE， ∴PK2=BP×KE，PK2=PE2+KE2， ∴4+（t﹣2）2=（8﹣t）（t﹣2）， 解得t=3，t=4；

③当t=5时，点K在BC边上，∠KBP=90°． 综上，当0＜t≤2或t=3或t=4或5时，△PKB是直角三角形． 22．（2017•农安县模拟）如图（1），在△ABC中，AD是BC边的中线，过A点作AE∥BC与过D点作DE∥AB交于点E，连接CE． （1）求证：四边形ADCE是平行四边形． （2）连接BE，AC分别与BE、DE交于点F、G，如图（2），若AC=6，求FG的长． 【解答】（1）证明：∵AE∥BC，DE∥AB． ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AE=BD， 又∵BD=DC， ∴AE=DC， 又∵AE∥DC， ∴四边形ADCE是平行四边形． （2）解：∵四边形ADCE是平行四边形，AC=6， ∴AG=GC=3， 又∵AE∥BC， ∴△AEF∽△CBF， ∴==， ∴AF=2， ∴FG=AG﹣AF=1． 23．（2017•杨浦区三模）已知：在正方形ABCD中，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，且BE=DF，联结AE、AF、DE、DE交AB于点M． （1）如图1，当E、A、F在一直线上时，求证：点M为ED中点；

（2）如图2，当AF∥ED，求证：AM2=AB•BM． 【解答】（1）连接AC，∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAM=∠BEM=∠BCD=90°，∠BCA=∠DCA=45°，AB=BC=CD=DA， ∵BE=DF，∴CE=CF， ∴∠AEB=∠F=45°， ∴BE=BA=AD， 在△ADM和△BEM中，， ∴△ADM和△BEM， ∴DM=EM，即点M为ED中点；

（2）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAM=∠EBM=90°，AD=AB， ∴△ADM∽△BEM， ∴=， ∵AM∥DF，AF∥DE， ∴四边形AMDF是平行四边形， ∴AM=DF， ∵BE=DF， ∴AM=BE， ∴， ∴AM2=AB•BM． 24．（2017•杭州模拟）已知，如图1，点D、E分别在AB，AC上，且=． （1）求证：DE∥BC． （2）已知，如图2，在△ABC中，点D为边AC上任意一点，连结BD，取BD中点E，连结CE并延长CE交边AB于点F，求证：=． （3）在（2）的条件下，若AB=AC，AF=CD，求的值． 【解答】解：（1）∵∠A=∠A， ， ∴△ADE∽△ABC ∴∠ADE=∠B， ∴DE∥BC （2）过点D作DG∥AB交CF于点G， ∴△CDG∽△CAF ∴， ∵E是BD的中点， ∴BE=ED， ∵DG∥AB， ∴∠FBE=∠EDG 在△DEG与△CAF中， ∴△DEG≌△BEF（AAS） ∴DG=BF， ∴= （3）由（2）可得：
∵AB=AC，AF=CD， ∴= ∴BF2+BF•AF﹣AF2=0， ∴（）2+﹣1=0， ∴解得：=， ∴= 25．（2017•岱岳区二模）已知△ABC，AC=BC，点E，F在直线AB上，∠ECF=∠A． （1）如图1，点E，F在AB上时，求证：AC2=AF•BE；

（2）如图2，点E，F在AB及其延长线上，∠A=60°，AB=4，BE=3，求BF的长． 【解答】解：（1）∵AC=BC， ∴∠A=∠B ∵∠BEC=∠ACE+∠A ∠ACF=∠ACE+∠ECF， ∴∠ACF=∠BEC ∴△ACF∽△BEC ∴ ∴AC2=AF•BE （2）∵∠A=60°， ∴△ABC是等边三角形 ∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°=∠ECF， ∵∠ECB=∠ACB﹣∠ACE，∠F=∠ABC﹣∠FCB， ∠ACE=∠FCB， ∴∠ECB=∠F， ∵∠ABC=∠A， ∴△ACF∽△BEC ∴= ∴AF= ∴BF=AF﹣AB= 　 26．（2017•硚口区模拟）如图，正方形ABCD，∠EAF=45°．交BC、CD于E、F，交BD于H、G． （1）求证：AD2=BG•DH；

（2）求证：CE=DG；

（3）求证：EF=HG． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形 ∴∠ABD=∠ADB=45°，AB=AD， ∵∠EAF=45° ∴∠BAG=45°+∠BAH，∠AHD=45°+∠BAH， ∴∠BAG=∠AHD， 又∵∠ABD=∠ADB=45°， ∴△ABG∽△HDA， ∴， ∴BG•DH=AB•AD=AD2；

（2）如图，连接AC， ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠ACE=∠ADB=∠CAD=45°， ∴AC=AD， ∵∠EAF=45°， ∴∠EAF=∠CAD， ∴∠EAF﹣∠CAF=∠CAD﹣∠CAF， ∴∠EAC=∠GAD， ∴△EAC∽△GAD， ∴， ∴CE=DG；

（3）由（2）得：△EAC∽△GAD， ∴， 同理得：△AFC∽△AHB， ∴， ∴， ∴， ∵∠GAH=∠EAF， ∴△GAH∽△EAF， ∴， ∴EF=GH． 27．（2017•岱岳区一模）如图，C为线段BD上一动点，过B、D分别作BD的垂线，使AB=BC，DE=DB，连接AD、AC、BE，过B作AD的垂线，垂足为F，连接CE、EF． （1）求证：AC•DF=BF•BD；

（2）点C运动的过程中，∠CFE的度数保持不变，求出这个度数；

（3）当点C运动到什么位置时，CE∥BF？并说明理由． 【解答】解：（1）∵BF⊥AD， ∴∠AFB=∠BFD=90°， ∴∠ABF+∠BAF=90°， ∵AB⊥BC， ∴∠ABF+∠DBF=90°， ∴∠BAF=∠DBF， ∴△ABF∽△BDF， ∴=，即AB•DF=BF•BD， 由AB=BC，AB⊥BC， ∴AB=AC， ∴AC•DF=BF•BD；

（2）∵=，AB=BC、BD=DE， ∴=， ∵∠FBC+∠BDF=90°、∠BDF+∠EDF=90°， ∴∠FBC=∠EDF， ∴△FBC∽△FDE， ∴∠BFC=∠DFE， 又∠BFD=∠BFC+∠CFD=90°， ∴∠DFE+∠CFD=90°，即∠CFE=90°， 故∠CFE的度数保持不变，始终等于90°． （3）当C为BD中点时，CE∥BF， 理由如下：
∵C为BD中点， ∴AB=BC=CD=BD=DE， 在△ABD和△CDE中， ∵， ∴△ABD≌△CDE（SAS）， ∴∠ADB=∠CED， ∵∠CED+∠ECD=90°， ∴∠ADB+∠ECD=90°， ∴CE⊥AD， ∵BF⊥AD， ∴CE∥BF． 28．（2017•长春模拟）如图，在△ABC中，点D在边AB上（不与A，B重合），DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿直线DE翻折，得到△A′DE，直线DA′，EA′分别交直线BC于点M，N． （1）求证：DB=DM． （2）若=2，DE=6，求线段MN的长． （3）若=n（n≠1），DE=a，则线段MN的长为　a﹣（n＞1）或﹣a（0＜n＜1）　（用含n的代数式表示）． 【解答】解：（1）∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B，∠A′DE=∠DMB， 由翻折可知：∠ADE=∠A′DE ∵∠B=∠DMB， ∴DB=DM， （2）由翻折可知：A′D=AD ∵，DB=DM， ∴， ∴= ∵DE∥BC， ∴△A′MN∽△A′DE ∴= ∵DE=6， ∴MN=DE=3， （3）由翻折可知：A′D=AD ∵=n，DB=DM， ∴=n， 当n＞1时， ∴= ∵DE∥BC， ∴△A′MN∽△A′DE ∴= ∵DE=a， ∴MN=DE=a﹣， 同理：当0＜n＜1时， 此时∴=， ∴MN=， 综上所述，MN=a﹣（n＞1）或﹣a（0＜n＜1） 故答案为：（3）MN=a﹣（n＞1）或﹣a（0＜n＜1） 29．（2017•武汉）已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E． （1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，求证：ED•EA=EC•EB；

（2）如图2，若∠ABC=120°，cos∠ADC=，CD=5，AB=12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积；

（3）如图3，另一组对边AB、DC的延长线相交于点F．若cos∠ABC=cos∠ADC=，CD=5，CF=ED=n，直接写出AD的长（用含n的式子表示） 【解答】解：（1）如图1中， ∵∠ADC=90°，∠EDC+∠ADC=180°， ∴∠EDC=90°， ∵∠ABC=90°， ∴∠EDC=∠ABC， ∵∠E=∠E， ∴△EDC∽△EBA， ∴=， ∴ED•EA=EC•EB． （2）如图2中，过C作CF⊥AD于F，AG⊥EB于G． 在Rt△CDF中，cos∠ADC=， ∴=，∵CD=5， ∴DF=3， ∴CF==4， ∵S△CDE=6， ∴•ED•CF=6， ∴ED==3，EF=ED+DF=6， ∵∠ABC=120°，∠G=90°，∠G+∠BAG=∠ABC， ∴∠BAG=30°， ∴在Rt△ABG中，BG=AB=6，AG==6， ∵CF⊥AD，AG⊥EB， ∴∠EFC=∠G=90°，∵∠E=∠E， ∴△EFC∽△EGA， ∴=， ∴=， ∴EG=9， ∴BE=EG﹣BG=9﹣6， ∴S四边形ABCD=S△ABE﹣S△CDE=（9﹣6）×6﹣6=75﹣18． （3）如图3中，作CH⊥AD于H，则CH=4，DH=3， ∴tan∠E=， 作AG⊥DF于点G，设AD=5a，则DG=3a，AG=4a， ∴FG=DF﹣DG=5+n﹣3a， ∵CH⊥AD，AG⊥DF，∠E=∠F， 易证△AFG∽△CEH， ∴=， ∴=， ∴a=， ∴AD=5a=． 　 30．（2017•大冶市模拟）如图，△ABC中，点E、F分别在边AB，AC上，BF与CE相交于点P，且∠1=∠2=∠A． （1）如图1，若AB=AC，求证：BE=CF；

（2）若图2，若AB≠AC， ①（1）中的结论是否成立？请给出你的判断并说明理由；

②求证：=． 【解答】解：（1）∵AB=AC， ∴∠EBC=∠FCB， 在△BCE与△CBF中，， ∴△BCE≌△CBF， ∴BE=CF；

（2）①成立，理由如下：作∠A的平分线交BC于点D，连结DE、DF， 则∠DAF=∠DAE=∠A， ∵∠1=∠2=∠A， ∴∠DAF=∠DAE=∠1=∠2， ∴A、B、D、F四点与A、E、D、C四点分别共圆， ∴BD=DF，DE=DC， ∵∠BDE=∠A，∠CDF=∠A， ∴∠BDE=∠CDF， 在△DEB与△DCF中，， ∴△DEB≌△DCF， ∴BE=CF；

②由上面的证明易知△DFB与△DEC均为等腰三角形， ∵∠1=∠2， ∴△DFB∽△DEC， ∴， ∵AD是△ABC的内角平分线， ∴， ∴． 31．（2017•大东区二模）如图1，在锐角△ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，点F在AC上，且满足∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M． （1）证明：DM=DA；

（2）点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图2，求证：△DEG∽△ECF；

（3）在图2中，取CE上一点H，使得∠CFH=∠B，若BG=5，求EH的长． 【解答】（1）证明：如图1所示， ∵DM∥EF， ∴∠AMD=∠AFE， ∵∠AFE=∠A， ∴∠AMD=∠A， ∴DM=DA；

（2）证明：如图2所示， ∵D、E分别是AB、BC的中点， ∴DE∥AC， ∴∠BDE=∠A，∠DEG=∠C， ∵∠AFE=∠A， ∴∠BDE=∠AFE， ∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC， ∵∠BDG=∠C， ∴∠GDE=∠FEC， ∴△DEG∽△ECF；

（3）解：如图3所示， ∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B， ∴△BDG∽△BED， ∴=， ∴BD2=BG•BE， ∵∠AFE=∠A，∠CFH=∠B， ∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠AFE﹣∠CFH=∠EFH， 又∵∠FEH=∠CEF， ∴△EFH∽△ECF， ∴=， ∴EF2=EH•EC， ∵DE∥AC，DM∥EF， ∴四边形DEFM是平行四边形， ∴EF=DM=DA=BD， ∴BG•BE=EH•EC， ∵BE=EC， ∴EH=BG=5． 32．（2017•随州）如图，分别是可活动的菱形和平行四边形学具，已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等． （1）在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，摆拼成如图1所示的图形，AF经过点C，连接DE交AF于点M，观察发现：点M是DE的中点． 下面是两位学生有代表性的证明思路：
思路1：不需作辅助线，直接证三角形全等；

思路2：不证三角形全等，连接BD交AF于点H．… 请参考上面的思路，证明点M是DE的中点（只需用一种方法证明）；

（2）如图2，在（1）的前提下，当∠ABE=135°时，延长AD、EF交于点N，求的值；

（3）在（2）的条件下，若=k（k为大于的常数），直接用含k的代数式表示的值． 【解答】解：（1）如图1， 证法一：∵四边形ABCD为菱形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∵四边形ABEF为平行四边形， ∴AB=EF，AB∥EF， ∴CD=EF，CD∥EF， ∴∠CDM=∠FEM， 在△CDM和△FEM中 ， ∴△CDM≌△FEM， ∴DM=EM， 即点M是DE的中点；

证法二：∵四边形ABCD为菱形， ∴DH=BH， ∵四边形ABEF为平行四边形， ∴AF∥BE， ∵HM∥BE， ∴==1， ∴DM=EM， 即点M是DE的中点；

（2）∵△CDM≌△FEM， ∴CM=FM， 设AD=a，CM=b， ∵∠ABE=135°， ∴∠BAF=45°， ∵四边形ABCD为菱形， ∴∠NAF=45°， ∴四边形ABCD为正方形， ∴AC=AD=a， ∵AB∥EF， ∴∠AFN=∠BAF=45°， ∴△ANF为等腰直角三角形， ∴NF=AF=（a+b+b）=a+b， ∴NE=NF+EF=a+b+a=2a+b， ∴===；

（4）∵==+2•=k， ∴=（k﹣）， ∴=， ∴==•+1=•+1=． 33．（2016秋•故城县期末）如图，已知在△ABC中，P为边AB上一点，连接CP，M为CP的中点，连接BM并延长，交AC于点D，N为AP的中点，连接MN．若∠ACP=∠ABD． （1）求证：AC•MN=BN•AP；

（2）若AB=3，AC=2，求AP的长． 【解答】解：（1）∵M为CP的中点，N为AP的中点， ∴MN是△ACP的中位线， ∴NM∥AC，MN=AC， ∴∠A=∠BNM， 又∵∠ACP=∠ABD， ∴△ACP∽△NBM， ∴=， ∴AC•MN=BN•AP；

（2）∵AC=2， ∴MN=AC=1， 设AN=x，则AP=2x， ∵AC•MN=BN•AP， ∴2×1=（3﹣x）×2x， 解得x1=，x2=， ∴AP=3+（舍去），AP=3﹣， ∴AP的长3﹣． 34．（2016秋•召陵区期末）如图，已知AC、EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF． （1）求证：△CAE∽△CBF；

（2）若BE=1，AE=2，求CE的长． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD和EFCG均为正方形， ∴==， 又∵∠ACE+∠BCE=∠BCF+∠BCE=45°， ∴∠ACE=∠BCF， ∴△CAE∽△CBF． （2）：∵△CAE∽△CBF， ∴∠CAE=∠CBF，=， 又∵∠CAE+∠CBE=90°， ∴∠CBF+∠CBE=90°， ∴∠EBF=90°， 又∵==，AE=2 ∴=， ∴BF=， ∴EF2=BE2+BF2=3， ∴EF=， ∵CE2=2EF2=6， ∴CE=． 35．（2016秋•平舆县期末）如图①，矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，将∠MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交边AB（或AD）于点E，PN交边AD（或CD）于点F，当PN旋转至PC处时，∠MPN的旋转随即停止． （1）特殊情形：如图②，发现当PM过点A时，PN也恰巧过点D，此时，△ABP　∽　△PCD（填“≌”或“～”）；

（2）类比探究：如图③，在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；
若不是，请说明理由． 【解答】解：（1）如图②所示，∵∠MPN=90°，∠B=90°， ∴∠BAP+∠APB=90°=∠CPD+∠APB， ∴∠BAP=∠CPD， 又∵∠B=∠C， ∴△ABP∽△PCD；

故答案为：∽；

（2）在旋转过程中，的值为定值． 证明：如图③所示，过点F作FG⊥BC于G，则∠B=∠FGP， ∵∠MPN=90°，∠B=90°， ∴∠BEP+∠EPB=90°=∠CPF+∠EPB， ∴∠BEP=∠CPF， ∴△EBP∽△GPF， ∴=， ∵矩形ABGF中，FG=AB=2，而PB=1， ∴=， ∴=， 即的值为定值． 36．（2016秋•瑶海区期末）如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是1、4、25．则△ABC的面积是　64　． 【解答】解：如图，， 过M作BC的平行线交AB、AC于D、E，过M作AC平行线交AB、BC于F、H，过M作AB平行线交AC、BC于I、G， 根据题意得，△1∽△2∽△3， ∵△1：△2=1：4，△1：△3=1：25， ∴它们的边长比为1：2：5， 又∵四边形BDMG与四边形CEMH为平行四边形， ∴DM=BG，EM=CH， 设DM为x， 则BC=BG+GH+CH=x+5x+2x=8x， ∴BC：DM=8：1， ∴S△ABC：S△FDM=64：1， ∴S△ABC=1×64=64． 故答案为：64． 37．（2016•南通）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，CO⊥AB于点O，D是线段OB上一点，DE=2，ED∥AC（∠ADE＜90°），连接BE、CD．设BE、CD的中点分别为P、Q． （1）求AO的长；

（2）求PQ的长；

（3）设PQ与AB的交点为M，请直接写出|PM﹣MQ|的值． 【解答】解：（1）如图1中， ∵CO⊥AB， ∴∠AOC=∠ACB=90°，∵∠A=∠A， ∴△ABC∽△ACO， ∴=， ∵AB===13， ∴OA==． （2）如图2中，取BD中点F，CD中点Q，连接PF、QF， 则PF∥ED，FQ∥BC，PF⊥FQ，且PF=ED=1，FQ=BC=6， 在Rt△PFQ中，PQ===． （3）如图3中，取AD中点G，连接GQ， ∵GQ∥AC，ED∥AC，PF∥ED， ∴PF∥GQ， ∴△PMF∽△QMG， ∴==， ∵PM+QM=， ∴PM=，MQ=， ∴|PM﹣QM|=． 38．（2016•邵阳）尤秀同学遇到了这样一个问题：如图1所示，已知AF，BE是△ABC的中线，且AF⊥BE，垂足为P，设BC=a，AC=b，AB=c． 求证：a2+b2=5c2 该同学仔细分析后，得到如下解题思路：
先连接EF，利用EF为△ABC的中位线得到△EPF∽△BPA，故，设PF=m，PE=n，用m，n把PA，PB分别表示出来，再在Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理计算，消去m，n即可得证 （1）请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程． （2）利用题中的结论，解答下列问题：
在边长为3的菱形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，E，F分别为线段AO，DO的中点，连接BE，CF并延长交于点M，BM，CM分别交AD于点G，H，如图2所示，求MG2+MH2的值． 【解答】解：（1）设PF=m，PE=n，连结EF，如图1， ∵AF，BE是△ABC的中线， ∴EF为△ABC的中位线，AE=b，BF=a， ∴EF∥AB，EF=c， ∴△EFP∽△BPA， ∴，即==， ∴PB=2n，PA=2m， 在Rt△AEP中，∵PE2+PA2=AE2， ∴n2+4m2=b2①， 在Rt△AEP中，∵PF2+PB2=BF2， ∴m2+4n2=a2②， ①+②得5（n2+m2）=（a2+b2）， 在Rt△EFP中，∵PE2+PF2=EF2， ∴n2+m2=EF2=c2， ∴5•c2=（a2+b2）， ∴a2+b2=5c2；

（2）∵四边形ABCD为菱形， ∴BD⊥AC， ∵E，F分别为线段AO，DO的中点， 由（1）的结论得MB2+MC2=5BC2=5×32=45， ∵AG∥BC， ∴△AEG∽△CEB， ∴==， ∴AG=1， 同理可得DH=1， ∴GH=1， ∴GH∥BC， ∴===， ∴MB=3GM，MC=3MH， ∴9MG2+9MH2=45， ∴MG2+MH2=5． 39．（2016•杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且． （1）求证：△ADF∽△ACG；

（2）若，求的值． 【解答】（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE， ∴∠ADF=∠C， ∵=， ∴△ADF∽△ACG． （2）解：∵△ADF∽△ACG， ∴=， 又∵=， ∴=， ∴=1． 40．（2016•黄冈校级自主招生）如图，四边形中ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，P为对角线AC延长线上的任意一点，PF交AD于M，PE交BC于N，EF交MN于K． 求证：K是线段MN的中点． 【解答】证明：取AC的中点Q，连接QF、AE，过C点作CR∥QF交MP于点R，连接NR． ∵Q、F、E分别是AC、CD、AB的中点， ∴QF∥AD，QE∥NC， ∴，， ∵AQ=CQ， ∴． ∵QF∥AD，CR∥QF， ∴CR∥AD， ∴==1， ∴FM=FR， ∴=， ∴EF∥RN． ∵FK∥RN，FM=FR， ∴KM=KN，即K是线段MN的中点． 　

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