2006年普通高等学校招生全国统一考试（全国II卷） 数学（文史类） 本试卷分第Ｉ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ｉ卷１至２页。第Ⅱ卷３至４页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ｉ卷 注意事项：
１．答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
２．每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
３．本卷共１２小题，每小题５分，共６０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式 如果事件Ａ、Ｂ互斥，那么球的表面积公式 如果事件Ａ、Ｂ相互独立，那么其中表示球的半径 球的体积公式 如果事件Ａ在一次试验中发生的概率是Ｐ，那么其中表示球的半径 次独立重复试验中恰好发生次的概率是 一．选择题 （1）已知向量＝（4，2），向量＝（，3），且//,则＝( ) （A）9 (B)6 (C)5 (D)3 （2）已知集合，则( ) （A） （B） （C） （D） （3）函数的最小正周期是( ) （A） （B） （C） （D） （4）如果函数的图像与函数的图像关于坐标原点对称，则的表达式为( ) （A） （B） （C） （D） （5）已知的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是( ) （A） （B）6 （C） （D）12 （6）已知等差数列中，，则前10项的和＝( ) （A）100 (B)210 (C)380 (D)400 （7）如图，平面平面，与两平面、所成的角分别为和。过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为、若AB=12,则( ) （A）4 （B）6 （C）8 （D）9 （8）已知函数，则的反函数为( ) （A） （B） （C） （D） （9）已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为( ) （A） （B） （C） （D） （10）若则( ) （A） （B） （C） （D） （11）过点（－1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为( ) （A） （B） （C） （D） （12）5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有( ) （A）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种 第Ⅱ卷 二．填空题：本大题共４小题，每小题４分，共１６分，把答案填在横线上。
（13）在的展开式中常数项是＿＿＿＿＿。（用数字作答） （14）圆是以为半径的球的小圆，若圆的面积和球的表面积的比为，则圆心到球心的距离与球半径的比＿＿＿＿＿。
（15）过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率 （16）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（元）月收入段应抽出＿＿＿＿＿人。
三．解答题：本大题共６小题，共７４分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分１２分） 在,求 （1） （2）若点 （18）（本小题满分１２分） 设等比数列的前n项和为， （19）（本小题满分１２分） 某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。
（I）求取6件产品中有1件产品是二等品的概率。
（II）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率。
（20）（本小题１２分） 如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点。
（I）证明：ED为异面直线与的公垂线；
（II）设求二面角的大小 (21）（本小题满分为１４分） 设，函数若的解集为A，，求实数的取值范围。
（22）（本小题满分１２分） 已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。
（I）证明为定值；
（II）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值。
2006年普通高等学校招生全国统一考试（全国II卷） 数学（文史类）（编辑：宁冈中学张建华） 本试卷分第Ｉ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ｉ卷１至２页。第Ⅱ卷３至４页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ｉ卷 注意事项：
１．答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
２．每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
３．本卷共１２小题，每小题５分，共６０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式 如果事件Ａ、Ｂ互斥，那么球的表面积公式 如果事件Ａ、Ｂ相互独立，那么其中表示球的半径 球的体积公式 如果事件Ａ在一次试验中发生的概率是Ｐ，那么其中表示球的半径 次独立重复试验中恰好发生次的概率是 一．选择题 （1）已知向量＝（4，2），向量＝（，3），且//,则＝( B ) （A）9 (B)6 (C)5 (D)3 解：//Þ4×3－2x＝0，解得x＝6，选B （2）已知集合，则( D ) （A） （B） （C） （D） 解：,用数轴表示可得答案D （3）函数的最小正周期是(D ) （A） （B） （C） （D） 解析: 所以最小正周期为,故选D （4）如果函数的图像与函数的图像关于坐标原点对称，则的表达式为( D ) （A） （B） （C） （D） 解：以－y，－x代替函数中的x，，得 的表达式为 ，选D （5）已知的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是( C ) （A） （B）6 （C） （D）12 解：(数形结合)由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a,可得的周长为4a=,所以选C （6）已知等差数列中，，则前10项的和＝(B ) （A）100 (B)210 (C)380 (D)400 解：d＝，＝3，所以 ＝210，选B （7）如图，平面平面，与两平面、所成的角分别为和。过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为、若AB=12,则( A ) （A）4 （B）6 （C）8 （D）9 解：连接,设AB=a,可得AB与平面所成的角为,在,同理可得AB与平面所成的角为,所以,因此在,所以,故选A （8）已知函数，则的反函数为(B ) （A） （B） （C） （D） 解：所以反函数为故选B （9）已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为( A ) （A） （B） （C） （D） 解：双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得,故选A （10）若则(C ) （A） （B） （C） （D） 解：
所以,因此故选C （11）过点（－1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为( D ) （A） （B） （C） （D） 解：，设切点坐标为，则切线的斜率为2，且 于是切线方程为，因为点（－1，0）在切线上，可解得 ＝0或－4，代入可验正D正确。选D （12）5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有( A ) （A）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种 解：人数分配上有两种方式即1,2,2与1,1,3 若是1,2,2，则有＝60种，若是1,1,3，则有＝90种 所以共有150种，选A 第Ⅱ卷 二．填空题：本大题共４小题，每小题４分，共１６分，把答案填在横线上。
（13）在的展开式中常数项是45。（用数字作答） 解：
要求常数项,即40-5r=0,可得r=8代入通项公式可得 （14）圆是以为半径的球的小圆，若圆的面积和球的表面积的比为，则圆心到球心的距离与球半径的比1 : 3。
解：设圆的半径为r，则＝，＝，由得r : R＝: 3 又，可得1 : 3 （15）过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率 解：(数形结合)由图形可知点A在圆的内部, 圆心为O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线,所以 （16）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（元）月收入段应抽出＿＿＿＿＿人。
解：由直方图可得（元）月收入段共有人 按分层抽样应抽出人 三．解答题：本大题共６小题，共７４分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分１２分） 在,求 （1） （2）若点 （18）（本小题满分１２分） 设等比数列的前n项和为， （19）（本小题满分１２分） 某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。
（I）求取6件产品中有1件产品是二等品的概率。
（II）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率。
（20）（本小题１２分） 如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点。
（I）证明：ED为异面直线与的公垂线；
（II）设求二面角的大小 (21）（本小题满分为１４分） 设，函数若的解集为A，，求实数的取值范围。
（22）（本小题满分１２分） 已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。
（I）证明为定值；
（II）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值。
2006年普通高等学校招生全国统一考试（全国II卷） 数学（文史类）参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D D D C B B B A C D A 二、填空题 （13）45；
（14）；
（15）；
（16）25 三、解答题 17、解：（1）由 由正弦定理知 （2） 由余弦定理知 （18）解：设的公比为q，由，所以得 ……………………………………① ……………………………………② 由①、②式得 整理得 解得 所以 q＝2或q＝－2 将q＝2代入①式得， 所以 将q＝－2代入①式得， 所以 19解：设表示事件“第二箱中取出i件二等品”，i＝0，1；
表示事件“第三箱中取出i件二等品”，i＝0，1，2；
（1）依题意所求的概率为 (2)解法一：所求的概率为 解法二：所求的概率为 20．解法一：
A B C D E A1 B1 C1 O F （Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，则EOC1C，又C1CB1B，所以EODB，EOBD为平行四边形，ED∥OB． ……2分 ∵AB＝BC，∴BO⊥AC， 又平面ABC⊥平面ACC1A1，BOÌ面ABC，故BO⊥平面ACC1A1， ∴ED⊥平面ACC1A1，BD⊥AC1，ED⊥CC1， ∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线．……6分 （Ⅱ）连接A1E，由AA1＝AC＝AB可知，A1ACC1为正方形， ∴A1E⊥AC1，又由ED⊥平面ACC1A1和EDÌ平面ADC1知平面 ADC1⊥平面A1ACC1，∴A1E⊥平面ADC1．作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，则A1F⊥AD，∠A1FE为二面角A1－AD－C1的平面角． 不妨设AA1＝2，则AC＝2，AB＝ED＝OB＝1，EF＝＝， tan∠A1FE＝，∴∠A1FE＝60°． 所以二面角A1－AD－C1为60°． ………12分 解法二：
（Ⅰ）如图，建立直角坐标系O－xyz，其中原点O为AC的中点． 设A(a，0，0)，B(0，b，0)，B1(0，b，2c)． 则C(－a，0，0)，C1(－a，0，2c)，E(0，0，c)，D(0，b，c)． ……3分 A B C D E A1 B1 C1 O z x y ＝（0，b，0），＝(0，0，2c)． ·＝0，∴ED⊥BB1． 又＝(－2a，0，2c)， ·＝0，∴ED⊥AC1， ……6分 所以ED是异面直线BB1与AC1的公垂线． （Ⅱ）不妨设A(1，0，0)，则B(0，1，0)，C(－1，0，0)，A1(1，0，2)， ＝(－1，－1，0)，＝(－1，1，0)，＝(0，0，2)， ·＝0，·＝0，即BC⊥AB，BC⊥AA1，又AB∩AA1＝A， ∴BC⊥平面A1AD． 又 E(0，0，1)，D(0，1，1)，C(－1，0，1)， ＝(－1，0，－1)，＝(－1，0，1)，＝(0，1，0)， ·＝0，·＝0，即EC⊥AE，EC⊥ED，又AE∩ED＝E， ∴ EC⊥面C1AD． ……10分 cos＜，＞＝＝，即得和的夹角为60°． 所以二面角A1－AD－C1为60°． ………12分 （21）解：由f（x）为二次函数知 令f（x）＝0解得其两根为 由此可知 （i）当时， 的充要条件是，即解得 （ii）当时， 的充要条件是，即解得 综上，使成立的a的取值范围为 22．解：(Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由＝λ， 即得 (－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)， 将①式两边平方并把y1＝x12，y2＝x22代入得 y1＝λ2y2 ③ 解②、③式得y1＝λ，y2＝，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4， 抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x． 所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是 y＝x1(x－x1)＋y1，y＝x2(x－x2)＋y2， 即y＝x1x－x12，y＝x2x－x22． 解出两条切线的交点M的坐标为(，)＝(，－1)． ……4分 所以·＝(，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝(x22－x12)－2(x22－x12)＝0 所以·为定值，其值为0． ……7分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝|AB||FM|． |FM|＝＝ ＝ ＝＝＋． 因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以 |AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋＋2＝(＋)2． 于是 S＝|AB||FM|＝(＋)3， 由＋≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4．
