秦海燕 侯强
摘 要：为了减少因诺如病毒感染引起的感染性腹泻对人们身体健康造成的危害，在明确诺如病毒传播特征的基础上，研究了诺如病毒的传播动力学行为，考虑感染诺如病毒的潜伏者也传染疾病的特性，建立具有非线性发生率的诺如病毒传播动力学模型，在计算模型的基本再生数R0的基础上，利用Lyapunov函数和几何方法证明了无病平衡点和地方病平衡点的稳定性，并进行了数值模拟。结果表明，当R0≤1时，无病平衡点全局渐近稳定，疾病消失;当R0>1时，在一定条件下，地方病平衡点全局渐近稳定。数值模拟验证了理论结果的正确性。研究结果丰富了感染性病毒传播理论，对进一步研究病毒的传播机理具有借鉴意义。
关键词：稳定性理论;诺如病毒;传染病模型;非线性发生率;基本再生数
中图分类号：O175.1 文献标识码：A
doi：10.7535/hbkd.2021yx02005
Dynamic model analysis of Norovirus transmissionwith nonlinear incidence
QIN Haiyan，HOU Qiang
（School of Science，North University of China，Taiyuan，Shanxi 030051，China）
Abstract：In order to reduce the great harm of infectious diarrhoeal disease caused by Norovirus infection to human health，based on the transmission characteristics of Norovirus，the transmission dynamics behavior of Norovirus was studied.Taking into account the characteristics that the latent infected with Norovirus can also transmit the disease，a dynamic model of Norovirus transmission with nonlinear incidence was established.The basic reproduction number R0of the model was calculated and then the stability of the disease-free equilibrium point and the endemic equilibrium point were proved by using the Lyapunov function and the geometric method.The results show that when R0≤1，the disease-free equilibrium point is globally asymptotically stable and the disease disappears; when R0>1，under certain conditions，the endemic equilibrium point is global asymptotically stable.The theoretical results are verified by numerical simulation.The research results have enriched the theory of infectious virus transmission and provide a reference for the study of virus transmission mechanism.
Keywords：
stability theory;Norovirus;infectious disease model;nonlinear incidence;basic reproduction number
諾如病毒是全球急性肠胃炎的主要致病原，致人感染发病的主要表现为腹泻和呕吐，其传播途径包括人与人之间的传播和食源性传播。人传人通过粪口途径传播（包括吸入粪便或呕吐物产生的气溶胶），食源性传播通过食用被诺如病毒污染的食物和水进行传播。诺如病毒变异很快，对环境的抵抗力也很强，感染后潜伏期较短，且在潜伏期便可排出病毒，排毒时间长，免疫保护时间却较短[1-9]。自2013年以来，感染性腹泻病暴发大多以诺如病毒感染为主，尤其是自2014年冬季起，诺如病毒的感染暴发疫情有较大幅度增加，显著高于历年水平[10-11]。
近年来，许多学者对诺如病毒的传播动力学进行了研究[12-14]。史方等[15]根据诺如病毒的流行病学特点建立模型，利用实测数据估计了模型中的参数，分析了潜伏期内的新发感染者、新发病人和新发无症状感染者之间的关系，研究了不同传染源在疾病传播研究过程中的贡献率，以及外部干预措施对诺如病毒传播的影响;GAYTHORPE等[16]根据年龄分层建立时间序列模型，研究发现，接种疫苗是预防疾病的有效策略;黄璜等[17]通过比较各模型评价隔离措施对诺如病毒在医院内传播的影响，为有效防控诺如病毒在医院内的感染暴发提供理论依据;LANE等[18]研究了诺如病毒通过人与人之间的传播和食源性传播导致人产生感染性肠道疾病，并进一步了解食源性如何传播诺如病毒。
目前的研究中，较少人考虑诺如病毒传播与稳定性相关的动力学性态，因此，笔者根据诺如病毒的流行病学特性，提出了发病率形式为β1fES+β2gIS的SEIRS非线性传播动力学模型，并运用微分动力系统理论分析模型的稳定性，最后通过数值模拟验证结果的正确性。
1 模型的建立
将人群分为4类，即易感者S（t）、潜伏者E（t）、染病者I（t）和恢复者R（t）。用N表示总人口，N=S+E+I+R，易感者虽然也可通过摄取被诺如病毒污染的食物而被感染，但本文重点研究潜伏者、染病者对诺如病毒传播的影响，所以忽略食源性感染。建立如下模型：
dSdt=A-β1fES-β2gIS-μS+δR，dEdt=β1fES+β2gIS-μE-εE，dIdt=εE-μI-γI，dRdt=γI-μR-δR。（1）
式中：A表示人口常数输入率;β1表示潜伏者的传染率;β2表示染病者的传染率;ε表示潜伏者变为染病者的比例;γ表示人的恢复率;δ表示恢复者失去免疫力的比率;μ表示人的自然死亡率。采用一般非线性发生率β1fES+β2gIS表示诺如病毒的传播发生率。为了满足模型（1）的流行病学意义，对于发生率函数，假定f0=g0=0，且f′E>0，g′I>0，f″E≤0，g″I≤0，在文献[17]中，这里的发生率为双线性发生率β1SE+β2SI。
2 平衡点的存在性和基本再生数
对于模型（1），其可行域为Ω=S，E，I，RS≥0，E≥0，I≥0，R≥0，S+E+I+R≤Aμ。模型（1）有唯一的无病平衡点E0=（S0，E0，I0，R0）=Aμ，0，0，0，根据下一代矩阵法[20]，F=β1f′0S0β2g′0S000，V=μ+ε0-εμ+γ，则模型的基本再生数为R0=ρ（FV-1）=β1f′0S0μ+ε+β2g′0S0εμ+εμ+γ=R01+R02。
为求模型（1）地方病平衡点，令模型（1）的第3個和第4个等式右端为0，则有：
E=μ+γεI;R=γμ+δI。
令模型（1）的前2个等式右端为0，则有：A-μ+εE-μS+δR=0。可得：
S=Aμ-μ+εμ+γμε-δγμμ+δI。
令第1个式子右边为0，可得：
GI=A-β1fμ+γεI+β2gI+μAμ-k1I+k2I，
其中：k1=μ+εμ+γμε-δγμμ+δ;k2=δγμ+δ。
对G（I）求导可得：
G′I=k2+k1β1fμ+γεI+β2gI+μ-β1μ+γεf′μ+γεI+β2g′IAμ-k1I，
则有：
G′0=k2+k1μ-β1μ+γεf′0+β2g′0Aμ=μ+εμ+γε（1-R0），
又
G″I=2k1β1μ+γεf′μ+γεI+β2g′I-β1μ+γε2f″μ+γεI+β2g″IAμ-k1I，
当I∈0，Ak1μ时，G″I>0，所以G′I单增，又当R0>1时，G′0<0，可得GI先减后增，且G0=0，GAk1μ>0，所以一定存在一个I，使得G（I）=0;当I∈Ak1μ，Aμ时，GAk1μ>0，G′I>0，此时不存在一个I，使得G（I）=0。
因此有结论：当R0>1时，模型（1）存在唯一正平衡点E*（S*，E*，I*，R*），即有：
定理1 对于模型（1）有以下结论：当R0≤1时，模型（1）有一个无病平衡点E0;当R0>1时，模型（1）存在唯一正平衡点E*。
3 平衡点的稳定性
定理2 如果R0≤1，模型（1）的无病平衡点E0在Ω内是全局渐近稳定的;如果R0>1，无病平衡点是不稳定的。
证明 矩阵在E0处的特征方程为（λ+μ）λ+μ+δ（λ2+a1λ+a2）=0。其中：a1=μ+γ+μ+ε1-R01，a2=μ+εμ+γ1-R0。
当R0≤1时，a1>0，a2>0，又λ1=-μ<0，λ2=-μ-δ<0，所以模型（1）的无病平衡点是局部渐近稳定的。当R0>1时，有a2<0，这里存在正根，无病平衡点不稳定，构造Lyapunov函数证明无病平衡点的全局渐近稳定性：因为fx在区间0，Aμ上恒有f″x≤0，则对任意的x，y∈0，Aμ满足x 同理可得：gII′=g′II-gII2=g′I-gIII≤0。所以，fEE和gII为减函数。 因此：β1f（E）S（μ+ε）E≤limE→0β1f′（E）S0（μ+ε）E=β1f′E（0）S0μ+εb1，β2g（I）S（μ+γ）I≤limI→0β2g（I）S0（μ+γ）I=β2g′I（0）S0μ+γb2。 定义 J=10-εμ+ε1，c1，c2=b1，b2J-1。因此，c1=R0≤1，根据（b1，b2）的正性可得（c1，c2）的正性，构造Lyapunov函数L=R0E+c2I。 对L关于模型（1）求导： dLdt=R0β1fESμ+εE，β2gISμ+γIμ+εE，μ+γIT-R0，c2Jμ+εE，μ+γIT≤ R0β1f′E0S0μ+ε，β2g′I0S0μ+γμ+εE，μ+γIT-R0，c2Jμ+εE，μ+γIT= R0-1b1，b2μ+εE，μ+γIT。 因此，当R0≤1时，L′≤0，而L′=0的最大不变集包含唯一的点E0=Aμ，0，0，0。由Lasalle不变集原理[19]可知，当R0≤1时，无病平衡点在Ω内是全局渐近稳定的。 由定理2知，如果R0>1，无病平衡点是不稳定的。根据文献[20]，易证模型（1）的一致持续等价于无病平衡点的不稳定性，故当R0>1时，模型（1）是一致持续的，因此存在一个紧吸引子集K。 因此当t>t*时，可得： 1t∫t0g1ds≤1t∫0t*g1ds-1tlnItI（t*）-b—t-t*t， 1t∫t0g2ds≤1t∫0t*g2ds-1tlnItI（t*）-b—t-t*t， 1t∫t0g3ds≤1t∫0t*g3ds-1tlnItI（t*）-b—t-t*t， 1t∫t0g4ds≤1t∫0t*g4ds-1tlnItI（t*）-b—t-t*t， 则有： 1t∫t0η（Q）ds≤sup1t∫0t*g1ds-1tlnItI（t*）-b—t-t*t， 1t∫0t*g2ds-1tlnItI（t*）-b—t-t*t， 1t∫0t*g3ds-1tlnItI（t*）-b—t-t*t， 1t∫0t*g4ds-1tlnItI（t*）-b—t-t*t。 从而有： q=lim sup supt→+SymboleB@x∈K1t∫t0η（Q）ds≤ -b—<0， 即当R0>1时，系统（1）的地方病平衡点E*全局渐近稳定。 4 数值模拟 采用数值模拟方法证明模型（1）中非线性发生率分别为双线性发生率和饱和发生率时，其在无病平衡点和地方病平衡点处的动力学性质。 图1和图2是非线性发生率为双线性发生率β1SE+β2SI时，取不同参数值的数值模拟情况。 参数值如下： 1） μ=0.05，β1=0.006，β2=0.008，δ=0.01，ε=0.5，γ=0.5，A=2。I取初始值I（0）=3，I（0）=5，I（0）=7，此时R0=0.531<1。从图1中可以看出无病平衡点E0在Ω内全局渐近稳定。 2）μ=0.05，β1=0.01，β2=0.02，δ=0.01，ε=0.5，γ=0.5，A=2。I取初始值I（0）=3，I（0）=5，I（0）=7，此时R0=1.127>1，且模型的雅可比矩阵在地方病平衡点处的特征方程的特征根均具有负实部，因此地方病平衡点E*在Ω内局部渐近稳定，从图2可以看出地方病平衡点E*在Ω内全局渐近稳定。 参数值如下： 1）μ=0.05，β1=0.006，β2=0.008，δ=0.01，ε=0.5，γ=0.5，A=2，α=0.2。I取初始值I（0）=3，I（0）=5，I（0）=7，此时R0=0.531<1。从图3可以看出无病平衡点E0在Ω内全局渐近稳定。 2）μ=0.05，β1=0.01，β2=0.02，δ=0.01，ε=0.5，γ=0.5，A=2，α=0.2。I取初始值I（0）=3，I（0）=5，I（0）=7，此時R0=1.127>1，且模型的雅可比矩阵在地方病平衡点处的特征方程的特征根均具有负实部，因此地方病平衡点E*在Ω内局部渐近稳定，从图4可以看出地方病平衡点E*在Ω内全局渐近稳定。 5 结 语 针对诺如病毒变异快、感染性强、对环境抵抗力强的特性，在一般SEIR模型基础上，提出了具有非线性发生率的诺如病毒传播动力学模型，在一般的生物学假设下，分析了平衡点的存在性和稳定性。结果表明，如果R0<1，则无病平衡点全局渐近稳定，这意味着疾病灭绝;如果R0>1，则存在唯一的地方病平衡点且在一定条件下全局渐近稳定。本研究尚未证明地方病平衡点的局部稳定性，这是后续要做的重要工作之一。 参考文献/References： [1] LOPMAN B，VENNEMA H，KOHLI E，et al.Increase in viral gastroenteritis outbreaks in Europe and epidemic spread of new Norovirus variant[J].The Lancet，2004，9410（363）：682-688. 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