周强 邓晴
[摘 要] 几何题是中学数学教学内容的重点，同时也是中考数学中的难点之一，而正确添加辅助线往往是解决一道几何题的关键. 辅助线起到了联系已知条件和未知量的桥梁作用，不同辅助线的做法能够实现一道几何题的“一题多解”. 研究者以一道几何题为例，从不同的角度作出辅助线，在实现一题多解的同时拓展学生思维，以期为学生解题以及教师教学提供参考.
[关键词] 辅助线;一题多解;数学几何题
一道几何题作不同辅助线实现“一题多解”的例子
在一次批改学生测验卷的过程中，发现一道几何填空题学生们做的不是很理想，大多数学生没有做出来. 而在上课评讲此题的过程中，有多种不同的做法，这些不同的做法都是因为从不同思路寻找突破口，作不同的辅助线. 笔者将此题进行了深入的剖析，列举出多种不同的方法.
试题呈现
如图1，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，等边三角形DEF的顶点D，E，F分别在直角三角形的三边上，则EF长的最小值是多少？
解题分析
第一，简单分析题目，理清大致方向.
初次读题将已知数据在图中对应出来并进行简单分析，理清问题求解的大致方向. △ABC是固定长度且含有特殊角30°的直角三角形，内嵌一个大小不定的等边三角形DEF，同时△CDF也是一个直角三角形. 所求线段EF长的最小值，这是一个动点求定直线最值的典型例题，虽然动点有三个，但由这三个动点所构成的三角形始终是等边三角形.
第二，再次分析题目，挖掘隐含条件.
可借助确定性分析，剖析图形结构，根据已知条件分析图形中不变的几何元素，或者变化过程中不变的几何关系[1]，挖掘更多隐含条件. 无论点D，E，F怎样移动，△DEF三边始终相等，于是求线段EF的最小值可以看作是求线段DE或DF的最小值. 且三个角与∠B相等均为60°，于是∠BDE与∠BED的和就等于∠BDE与∠FDC的和等于120°，所以∠BED等于∠FDC，同理可得∠BDE等于∠AEF. 此时有边等、角等的关系，自然会想到全等，但条件不够，所以能够初步想到必须添加辅助线.
第三，条件预设处理，寻找解题突破.
条件预设处理是指基于已知边与角的条件根据导边或导角找出更多边角关系，最后复盘边角关系找到解题突破口. 观察边角关系，△BDE中始终有一角和一边跟另一个三角形一角一边相等，所以可以通过“边角边”或“角角边”关系构造两个三角形全等. 同时，∠B等于∠EDF等于60°，且均在边BC上，所以可以构造“一线三等角”，同理边BC也可构造“一线三等角”. 于是，本题的突破口就在于通过一线三等角构造三角形全等，再通过勾股定理设参求得最小值.
思路1 在△BDE与△FCD中已知一边一角相等，且∠B和∠EDF均在边BC上，所以还需在BC边上构造一个∠G=60°，但构造角通常不易作图，且构造完后DG=BE，所以可以直接延长DC，使DG=BE，再连接GF，这时∠G也等于60°. 构造线段等而不是角等的辅助线的方法，使作图更加精准. 全等后设参，可以将Rt△DCF各边表示出来，通过勾股定理求得最小值.
思路2 从分析过程可以知道，除了在BC边上构造一线三等角，也可在BA边上构造. 做法与思路1类似，在EA上截取EM，使EM=BD，证明△BDE与△MEF全等，再设参求最小值.
思路3 在△BDE与△FCD中已有一边一角相等，除构造一线三等角，还可从∠B=60°这个特殊角考虑，在△BDE中添加垂线构造直角三角形使之与△FCD全等，过点D作AB的垂线，通过角角边证明全等，再设参求最小值.
解后反思
1. 打破常规解题思维，提高问题解决能力
新一轮基础教育改革指出，要以“培养全面发展的人”为核心，不仅要让学生掌握数学知识，更要发展数学思维，学会用数学的观点思考与解决问题. 几何题型灵活多变，仅靠已知条件往往不能直接得出答案，添加辅助线是必经之路. 在教学过程中，教师可以有意地进行思维教学，引导学生根据数学素材进行具体化数学构思，打破常规刻板的解题思路，让学生从不同的思维方向对同样条件进行整合，会添加不同的辅助线. 所以一题多解能够充分调动学生思维的积极性，提高学生对知识的整合能力以及问题解决能力. 这个过程肯定会耗时很久，但教师只要有耐心就会让学生有信心.
2. 发展数学核心素养，培养几何直观能力
图形与几何是培养学生几何直观能力的主要载体之一，它既是初中数学的难点，又是重点. 主要题型是求解某个几何量或者证明某些几何量的关系，解答它们的难点就在于通过等量代換或代数计算联系已知与未知，进而求得结论. 这样，能在解题过程中培养学生的模型化思想、类比思想、数形结合思想等.
3. 巧添不同辅助线，强化图形解题能力
在解决几何题的过程中合理添加辅助线，能够起到在已知条件和未知量之间构建桥梁、将复杂图形简单化、将隐含条件明朗化、将分散条件集中化等的作用[2]. 本题中，已知一对边、一对角相等，显然可添加辅助线构造全等，又知道同一边有两个60°角，能想到构造一线三等角. 辅助线的添加没有固定法则，同一道题目可以从不同角度、不同层次添加不同的辅助线，从而实现同一道题目多种方法与途径解答，即“一题多解”，以此提高学生对图形的感知力，强化解题能力.
结束语
近年来，几何题一直是中考数学中的压轴题目，它形式不一、灵活多变，往往直接利用所给条件无法解决问题，必须借助辅助线. 而辅助线的做法往往也不是唯一的，教师可以在平时教学中引导学生作不同辅助线解题，这有利于挖掘学生的潜能，激发学习兴趣，培养学生解决问题的能力. 学生本身也应该多动脑思考，养成主动思考的良好数学学习习惯，这样才能从被动变为主动，进而提高学习能力.
参考文献：
[1]付粉娟，陈法超. 基于通性通法 探求一题多解[J]. 中学数学教学参考，2021（02）：16-19.
[2]陈玲. 辅助线在初中数学解题中的应用[J]. 科普童话，2016（26）：53.
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