97届,普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案（文）

1997年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文史类) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题共65分) 注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 一、选择题：本大题共15小题；
第(1)—(10)题每小题4分，第(11)—(15)题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 (1) 设集合M={x|0≤x<2}，集合N={x|x2－2x－3<0}，集合M∩N= ( ) (A) {x|0≤x<1} (B) {x|0≤x<2} (C) {x|0≤x≤1} (D) {x|0≤x≤2} (2) 如果直线ax+2y+2=0与直线3x－y－2=0平行，那么系数a= ( ) (A) －3 (B) －6 (C) － (D) (3) 函数y=tg在一个周期内的图像是 ( ) (4) 已知三棱锥D—ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是 ( ) (A) (B) (C) (D) (5) 函数y=sin(－2x)+sin2x的最小正周期是 ( ) (A) (B)π (C) 2π (D) 4π (6) 满足tg a≥ctg a的角a的一个取值区间是 ( ) (A) (B) (C) (D) (7) 设函数y=f(x)定义在实数集上，则函数y=f(x－1)与y=f(1－x)的图像关于 ( ) (A) 直线y=0对称 (B) 直线x=0对称 (C) 直线y=1对称 (D) 直线x=1对称 (8) 长方体一个顶点上三条棱的长分别是3，4，5且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是 ( ) (A) 20π (B) 25π (C) 50π (D) 200π (9) 如果直线l将圆：x2+y2－2x－4y=0平分，且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是 ( ) (A) [0，2] (B) [0，1] (C) [0，] (D) (10) 函数y=cos2x－3cosx+2的最小值为 ( ) (A) 2 (B) 0 (C) － (D) 6 (11) 椭圆C与椭圆关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是 ( ) (A) (B) (C) (D) (12) 圆台上、下底面积分别为π、4π，侧面积为6π，这个圆台的体积是 ( ) (A) (B) (C) (D) (13) 定义在区间(－∞，+∞)的奇函数f(x)为增函数；
偶函数g(x)在区间的图像与f(x)的图像重合．设a>b>0，给出下列不等式 ( ) ① f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)；
② f(b)－f(－a) < g(a)－g(－b)；

③ f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a)；
④ f(a)－f(－b)<g(b)－g(a)． (A) ①与④ (B) ②与③ (C) ①与③ (D) ②与④ (14) 不等式组的解集是 ( ) (A) {x|0<x<2} (B) {x|0<x<2．5} (C) {x|0<x<} (D) {x|0<x<3} (15) 四面体的一个顶点为A，从其它顶点与各棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有 ( ) (A) 30种 (B) 33种 (C) 36种 (D) 39种 第Ⅱ卷(非选择题 共85分) 注意事项：
1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 二、填空题：本大题共4小题；
每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． (16)已知的展开式中x3的系数为，常数a的值为___________ (17)已知直线x－y=2与抛物线y2=4x交于A、B两点，那么线段的中点坐标是_______ (18)的值为__________ (19)已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：
①若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；

②若l平行于α，则l平行于α内的所有直线；

③若mα，lβ，且l⊥m，则α⊥β；

④若lβ，且l⊥α，则α⊥β；

⑤若mα，lβ，且α∥β，则m∥l． 其中正确的命题的序号是___________ (注：把你认为正确的命题的序号都填上) 三、解答题：本大题共6小题；
共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (20)(本小题满分10分) 已知复数，．求复数的模及辐角主值． (21)(本小题满分11分) 设Sn是等差数列{an}前n项的和．已知与的等比中项为，与的等差中项为1．求等差数列{an}的通项an． (22)(本小题满分12分) 甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，且比例系数为b；
固定部分为a元． (Ⅰ)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；

(Ⅱ)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ (23)(本小题满分12分) 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点． (Ⅰ)证明AD⊥D1F；

(Ⅱ)求AE与D1F所成的角；

(Ⅲ)证明面AED⊥面A1FD1；

(Ⅳ)设AA1=2，求三棱锥E－AA1F的体积． (24)(本小题满分12分) 已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图像交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数的y=log2x的图像交于C、D两点． (Ⅰ)证明点C、D和原点O在同一条直线上；

(Ⅱ)当BC平行于x轴时，求点A的坐标． (25)(本小题满分12分) 已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；
②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；
③圆心到直线l：x－2y=0的距离为．求该圆的方程． 1997年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题(文史类)参考解答及评分标准 说明：
一．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 二．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；
如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)—(10)题每小题4分，第(11)—(15)题每小题5分．满分65分． (1)B (2)B (3)A (4)C (5)B (6)C (7)D (8)C (9)A (10)B (11)A (12)D (13)C (14)C (15)B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分． (16)4 (17) (4，2) (18)2－ (19)①，④ 注：第(19)题多填、漏填和错填均给0分． 三、解答题 (20)本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算等基础知识，考查利用三角公式进行变形的技能和运算能力．满分10分． 解法一：将已知复数化为复数三角形式：
， 依题意有zω+zω3 =(cos+isin)+(cos+isin) =(cos+cos)+i(sin+sin) =2cos(cos+isin) 故复数zω+zω3的模为，辐角主值为． 解法二：zω+zω3 = zω(1+ω2) =(+i)(+i)(1+i) =(－i+i) =(cos+isin) (21)本小题主要考查等差数列、等比数列、方程组等基础知识，考查运算能力．满分11分． 解：设等差数列{an}的首项a1=a，公差为d，则通项为 an =a+(n－1)d， 前n项和为 ， 依题意有 其中S5≠0． 由此可得 整理得 解方程组得 由此得 an=1；

或 an=4－(n－1) =－n． 经验证知时an=1，S5=5，或时，S5=－4，均适合题意． 故所求等差数列的通项为an=1，或． (22)本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．满分12分． 解：(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为 y=a·+bv2·=S(+bv) 故所求函数及其定义域为 y = S(+bv)，v∈ (Ⅱ)依题意知S、a、b、v都为正数，故有 S(+bv)≥2． 当且仅当，即时上式中等号成立． 若，则当时，全程运输成本y最小． 若，当时，有 S(+bv)－S(+bc)= S[(－)+(bv－bc)]=(c－v)(a－bcv)． 因为c－v≥0，且a>bc2，故有 a－bcv≥a－bc2>0， 所以S(+bv)≥S(+bc)，且仅当v=c时等号成立． 也即当v=c时，全程运输成本y最小． 综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为；
当时行驶速度应为． (23)本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，考查逻辑推理和空间想象能力．满分12分． 解：(Ⅰ) ∵ AC1是正方体， ∴ AD⊥面DC1． 又D1F面DC1， ∴ AD⊥D1F． (Ⅱ)取AB中点G，连结A1G，FG． 因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四边形， A1G∥D1F． 设A1G与AE相交于点H，∠AHA1是AE与D1F所成的角． 因为E是BB1的中点，所以 Rt△A1AG≌Rt△ABE，∠GA1A=∠GAH， 从而∠AHA1=90º， 也即直线AE与D1F所成的角为直角． (Ⅲ)由(Ⅰ)知AD⊥D1F，由(Ⅱ)知AE⊥D1F，又AD∩AE=A， 所以D1F⊥面AED． 又因为D1F面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1． (Ⅳ)∵ 体积， 又FG⊥面ABB1A1，三棱锥F－AA1E的高FG=AA1=2， 面积 =S□=×22=2． ∴=××FG=×2×2= (24)本小题主要考查对数函数图像、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力，满分12分． 解：(Ⅰ)设点A、B的横坐标分别为x1、x2由题设知，x1>1，x2>1．则点A、B纵坐标分别为log8x1、log8x2． 因为A、B在过点O的直线上，所以， 点C、D坐标分别为(x1，log2x1)，(x2，log2x2)． 由于log2x1=－3 log8x1， log2x2==3log8x2 OC的斜率 ， OD的斜率 ． 由此可知，k1=k2， 即O、C、D在同一条直线上． (Ⅱ)由于BC平行于x轴知 log2x1= log8x2， 即得 log2x1=log2x2， ∴ x2=． 代入x2log8x1=x1log8x2得 log8x1=3x1log8x1． 由于x1>1知log8x1≠0， ∴ =3x1． 考虑x1>1解得x1=． 于是点A的坐标为(，log8)． (25)本小题主要考查轨迹的思想，考查综合运用知识建立曲线方程的能力．满分12分． 解：设圆P的圆心为P(a，b)，半径为，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90º，知圆P截x轴所得的弦长为．故 r2=2b2 又圆P被y轴所截得的弦长为2，所以有 r2=a2+1． 从而得2b2－a2=1． 又因为P(a，b)到直线x－2y=0的距离为，所以， 即有 a－2b=±1， 由此有 解方程组得 于是r2=2b2=2， 所求圆的方程是 (x+1)2+(y+1)2=2，或(x－1)2+(y－1)2=2．

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