刘旭晨 喻平
摘要：心理学对学习策略的研究主要集中在学习策略与学业成就的关系、学习策略的使用特点和发展规律、学习策略的训练干预等方面。将一些研究成果应用于中学数学教学，可以得到一些教学启示：突出数学阅读策略的教学，加强反思性学习策略的教学，注重通性通法的教学。
关键词：学习策略;数学阅读;反思性学习;通性通法;中学数学
学习策略概念来源于1956年美国心理学家布鲁纳提出的“认知策略”。由于学习策略的内隐性质，人们难以对其直接概括，因此，目前还没有统一的界定。综合国内外心理学家对学习策略内涵的理解，主要有以下三种观点：（1）学习策略是学习的程序、方法及规则;（2）学习策略是学习的信息加工方法;（3）学习策略是学习监控和学习方法的结合。总的来说，学习策略是学习者为提高学习的效果和效率，有目的、有意识地制订的有关学习过程的复杂的方案。学习策略是决定学业成就的一个重要指标。在心理学领域，大量关于学习策略的研究表明，在教学中有意识地培养或有目的地干预学生的学习策略，对其学习效果有重要的影响。本文简单介绍心理学关于学习策略的一些研究，并由此思考如何将一些研究成果应用于中学数学教学。
一、心理学关于学习策略的一些研究
（一）学习策略与学业成就的关系
关于学习策略与学业成就关系的实证研究，可以分为学习策略与学业成就的相关性研究和学习策略对学业成就的影响研究两个方面。要开展上述研究，就涉及对学习策略的测量，因此，制作学习策略的量表就显得尤为重要。事实上，在这一方面，国内外学者已经开展了许多研究。比如Weinstein等在1987年编制了“学习策略量表——高中版”，所测内容包括态度、动机、时间管理、焦虑、专心、信息处理、选择要点、学习辅助手段、自我测查、考试策略十个维度;Yesim等编制了“学习策略问卷”，将学习策略分为浅表策略、深加工策略和元认知策略三个维度;Pintrich等编制的“学习策略量表”由认知策略、元认知策略和资源管理策略三个分量表组成;周国韬等编制了“中学生学习策略量表”，将学习策略分为认知策略和认知调控策略两个维度。
学习策略与学业成就的相关性研究，方法相对较为简单，即测量被试的学习策略并收集被试的学业成就，然后计算两者的相关系数，或对两个变量做回归分析，从而判断两者的相关性。张林等分别从初中、高中两个阶段随机选取学生，利用“中学生学习策略量表”进行测试，并采用协方差结构模型考察学习策略运用、学习效能感、学习坚持性与学业成就之间的关系。研究发现，学习策略运用与学业成就之间存在显著的正相关关系，且学习策略运用直接影响学生的学业成就。谷生华等通过问卷测量初一、初二学生的学习策略，并收集他们的数学、语文期末考试成绩加以分析。结果发现，学习策略与考试成绩之间存在非常显著的正相关关系，学习归因与学习策略之间存在非常显著的相关关系，学习策略和年龄对学习成绩的解释率为21.8%。
学习策略对学业成就的影响研究，通常是将学习策略与其他因素联系起来，共同作为自变量，研究它们的交互作用对学业成就的影响。王振宏等研究发现，高中生的动机因素、学习策略与学业成就之间存在因果关系，其中，学习策略对学业成就有显著的回归效应，并直接影响学业成就;内在动机通过直接影响学习策略而間接影响学业成就。张亚玲等选取不同学校类型和不同性别的学生进行问卷调查，探究中学生的学习动机与学习策略之间的关系。研究结果表明，中学生的学习动机与学习策略的发展具有相似的模式，并且学习动机与学习策略有显著的正相关关系。一般来说，成就动机和学习策略是相互促进的：成就动机高者会相应调整自己的学习策略，采用比较积极的策略形式，即具有较高的策略水平;学习策略运用水平越高， 反过来会增强学习信心， 进而提高成就动机水平。
当学习策略应用于某一学科或内容时，就存在解决具体问题的策略，可称为具体策略。周国韬等探讨了初中生在方程学习中学习能力感（分为数学能力感和方程能力感）、一般学习策略（分为计划性、努力和认知三类）、具体学习策略（分为适宜性策略和多样性策略）与学业成就之间的关系。他们利用量表测试初二学生的一般学习策略和关于方程的具体学习策略，研究发现：方程成绩“学优生”和“学困生”在学习能力感和学习策略上存在显著的差异，两类具体学习策略和两类学习能力感对方程成绩都有显著的影响。
（二）中学生学习策略的使用特点和发展规律
张向葵等运用自编的“中学生学习策略量表”，测试中学生学习策略的应用特点和发展规律。量表分为两个维度：认知策略和调控策略。认知策略分为四个维度：选择注意策略（按照轻重程度分辨学习内容主次），表层加工策略（对新知识进行一般性复述、加工），深层加工策略（将学过的知识进行组织、归纳、整理和系统化），检索应用策略（正确提取和灵活运用所学知识解决新问题）。调控策略也分为四个维度：自我计划策略（自己安排和筹划学习活动的内容顺序），监督检查策略（有意识地监督和检查自己学习计划的执行情况），反馈调节策略（根据获得的反馈信息和结果及时调整和采取补救措施），自我总结策略（学习活动告一段落时自己能定期回顾和总结学习中的得失）。研究结果表明，中学生在学习策略的使用上有随年级增长而下降的趋势;女生在调控策略的使用上显著多于男生，男生在认知策略的使用多于女生;初二和高二学习成绩“学优生”和“学困生”在学习策略各维度的使用上都有显著的差异。
Zimmerman等也发现，“学优生”比普通学生会更频繁地使用某些学习策略，如组织和转换、自我奖惩、寻求帮助以及复习记录;学习策略的运用次数从小学到初中逐年增长，而从初中到高中则逐年降低。
自我监控学习策略是指对所从事的学习活动进行自我调节与控制的策略，是元认知策略的重要组成部分。董奇等测量从小学到高中学生的自我监控学习策略，发现：随着年龄和年级的增长，自我监控学习策略在学生学习活动中的可能影响开始显著地表现出来;学生自我监控学习各方面的策略不断发展和提高，在小学四年级至初中一年级期间发展较慢、提高较小，在初中一年级至高中一年级期间发展较快、提高较大。
在中学数学学习中，应用题解决占有很大的比重，学会正确地理解应用题的问题表征尤为重要。陈英和等认为，数学应用题的心理表征存在直接转换和问题模型两种策略。直接转换策略是首先从题目中选取数字，然后对数字进行加工，其中强调量的推理，即计算过程;问题模型策略是首先试图理解问题情境，然后根据问题情境表征制订解题计划，其中强调质的推理，即理解问题中条件之间的关系。这说明建立不同心理表征的学生所采取的问题表征策略是不同的。冯虹等采用三因素混合实验设计，选取长时和短时两种呈现方式，分别对从小学到大学4个年级（五年级、初二、高二和大二）的“学优生”和“学困生”解比较应用题过程中的各种指标进行分析。研究发现，学生解比较应用题时的问题表征策略存在显著的年级差异：初二之前，学生较多使用直译策略;初二以后，学生更多采用数学模型策略，并且随着年级的升高和掌握的概念性知识的增多， 数学模型策略的运用越来越成熟。此外，数学“学优生”和“学困生”存在不同的问题表征策略。而题目呈现方式对学生的问题表征策略也有显著影响：短时呈现条件下， 学生多采用直译策略;长时呈现条件下， 学生多采用数学模型策略。
（三）中学生学习策略的训练干预
既然学习策略对学习效果有重要影响，就要探讨如何形成有效的学习策略。虽然中学生可能会自觉使用并发展学习策略，但是，通過教师的干预，进行专门的学习策略训练，他们就能够更好地掌握学习策略。
方平等对初二学生开展了数学学习策略训练的实验研究。他们结合初二几何、代数教材自编了数学学习策略训练教材，内容包括以简驭繁、进退互用、数形迁移、化生为熟、正难则反、倒顺互通、动静转换、分合相辅、引参求变、以美启真等，主要是解决问题的策略。教学时先讲解数学学习的普遍策略，然后结合具体的数学问题讲解有关的特殊策略，最后让学生对所学策略进行讨论;同时采用出声思维、教学渗透等方法促进学生掌握学习策略。结果发现，教师随堂渗透的讲授方法以及出声思维与教师指导相结合的训练方式，使得学生掌握学习策略的效果很显著。
刘敏岚对高二学生开展了数学日记训练的实验研究。她要求实验班的学生写数学日记，内容包括：（1）对课堂上讲授的数学概念、计算方法以及推理程序的了解和运用情况;（2）对数学教学过程与方式的评价与建议;（3）自由发表意见，可以包括自身的成就、期望以及生活或学习中存在的问题等;（4）感悟和反思，可以包括对数学故事、数学人物的感悟，对数学问题、数学知识的感想，对数学实践的反思等。结果发现，数学日记的运用能够显著增强学生数学学习的效能感，提高学生的数学成绩;特别是对数学成绩较差的学生而言，成绩的提高更具显著性。
反思性学习是指对自身学习活动的过程，以及活动过程中涉及的事物、材料、信息、思维、结果等的学习特征的反向思考。反思性学习不仅仅是对学习活动一般性的回顾或重复，而是深究学习活动中涉及的知识、方法、思路、策略等，因此，反思性学习是一种有效的学习策略。张定强等开展了对高中生反思能力培养的实验研究。他们采用激疑、示范、训练、评价四环节教学模式，使用作业错误归类分析、过电影式复习、写反思日记、用波利亚“怎样解题表”中的提示语指导解题及解后反思等具体策略，在高中数学教学中对学生反思能力的培养做了实践探索。结果表明，实验班学生的反思能力得到了显著提高。
元认知策略作为一种学习策略，一般指用以计划、管理、监控、评估学习的策略。因此，要提高学生自我监控和计划的能力，元认知策略的训练是很有必要的。张庆林等运用自编的解决几何问题思维训练教程，在4所中学各选取6个实验班和对照班，展开教学实验。解决几何问题的思维策略包括：（1）在准确理解题意的基础上，直觉判断题目的类型，可以问自己，“这道题属于哪一种类型”“它和过去解过的哪一种题目类似”。（2）充分利用已知条件进行顺向推理。（3）运用逆向推理，使已知与未知取得联系。（4）在双向推理的基础上作辅助线。（5）解题后反思，可以问自己，“这道题和过去学过的题目在什么地方不一样”，这道题解题思路中的“不一般”之处就是关键所在，值得注意和记住，供以后在类似的情境中运用。实验结果表明，5个实验班解决几何问题的成绩与对照班的成绩存在显著差异。这说明训练效应是显著的。
唐卫海等利用自编的平面几何学习策略训练教程和“元认知训练单”，在初中二年级随机选取两个班，对一个班的学生进行5课时学习策略和11课时元认知的训练，对另一个班的学生按传统方式教学，之后对被试进行平面几何内容的后测。他们使用的学习策略与上文介绍的张庆林等使用的学习策略相同，不同的是，用5节课讲完5种策略之后，第6节课开始进行元认知训练：为每位学生提供一张“平面几何元认知训练单”，结合前面课时中的两道例题讲解训练单的用法，并让学生自己尝试解决两道习题。具体用法是，在解题时分四个阶段自问。（1）在审题阶段自问：这个问题是哪方面的问题？它要求我干什么？它涉及哪方面的知识？题目中的信息哪些是有用的、关键的？（2）在拟订解题方法或策略阶段自问：能否用老办法解决这个问题？能否从已知条件中推出新条件？使用所有的条件了吗？能否确立一个容易达到的中间目标？从结果反推回去又怎样？还有其他的办法吗？如果……将会……。（3）在实际解题阶段自问：能按拟订的解题方法或策略接近目标吗？每一步都是对的吗？有必要修改或重新制订方法和策略吗？（4）在回顾阶段自问：能否检验结果的正确性？有无矛盾之处？拟订的方法或策略哪些起了作用，哪些没起作用？这道题有何奥妙之处？有没有更好的方法？能将这个结果或方法用于其他问题吗？研究结果表明，这样的训练对提高学生的几何成绩有效，对学生学习代数、物理有远迁移作用;对学习成绩中等、较差的学生效果显著，对“学优生”效果不显著;对男、女生都有非常显著的影响。
二、对中学数学教学的启示
（一）突出数学阅读策略的教学
阅读是自主获取知识的一种学习过程，它不仅仅是读的过程，还是动口、动手、动脑有机结合、统一协调的过程。数学学习离不开数学阅读。数学阅读是指对数学材料的阅读，一般包括对数学教材的阅读、对数学教辅资料的阅读、对数学科普文献的阅读，还包括在问题解决中对题目的阅读。教师应当有意识地将数学阅读活动融入数学教学过程中，并采用专门的方式对学生进行数学阅读训练：在课内，要引导学生阅读数学教材，理解数学知识和方法;在课外，要引导学生阅读数学科普读物，通过数学史与传、数学美与趣、数学在现实生活中的应用等文献的阅读，提升数学文化素养;在解题训练中，要引导学生认真读题，掌握必要的审题技巧，发展问题表征水平。
数学阅读策略的教学，可以采用以下几种方式：（1）问题导向阅读。教师可以在阅读材料中适当的地方加入问题，引导学生每读一段就思考并讨论。教师还可要求学生一边阅读，一边自我提问——这也是训练学生自我监控意识和能力的有效手段。对于阅读中思考和讨论的问题，教师可以设置辅助性提问：你对这个问题是怎么思考的？你在考虑这个问题时想到了什么？你的想法很好，你怎么会想到用这个方法的？这个知识与以前我们学习过的哪些知识有联系？你知道你错误的原因吗？你能不能换一个角度思考这个问题？……（2）提纲引领阅读。教师可以根据阅读的内容以及提出的问题列出阅读提纲，让学生按提纲阅读，同时体会阅读提纲的编写方法，从而使学生在阅读前了解读什么、怎么读，在阅读时具有更强的目的性。（3）拓展反思阅读。学生阅读后，教师可以根据阅读中反馈的信息，适当采用问题导向策略，即自己提问或激发学生提问，以引领学生拓展反思。（4）补全信息阅读。教师可以提供一些信息不全的阅读材料，如问题的条件缺失、没有结论等，让学生在阅读过程中通过思考把信息补全。
此外，要强调的是，无论阅读教材、阅读科普读物，还是读题，都可以培养学生写数学日记的意识和习惯。写数学日记与数学阅读相辅相成，可以使学生的数学阅读理解更加深刻，提升数学阅读水平。
（二）加强反思性学习策略的教学
涂荣豹教授提出，在数学教学中，教师可以从以下7个方面引导学生反思：反思自己的思考过程，反思学习活动涉及的知识，反思学习活动涉及的思想方法，反思学习活动中有联系的问题，反思理解题意的过程，反思解题的思路、推理的过程、运算的过程、语言的表述，反思学习活动的结果。由此，引导学生掌握必要的反思性策略。
例如，反思解题活动的结果时，可以不断引导学生思考以下问题：问题解决的过程是否正确？是否还有更好的解答方法？这个问题可以变式吗？这个问题可以推广吗？……由此，培养学生反思解题活动结果的意识和习惯，即从有意识的控制反思过渡到无意识的自动反思。
例1如图1，已知圆柱的底面周长是8 m，高AB是6 m，要从A处开始绕圆柱一周建造梯子，正好到达A点正上方的B处，问：梯子最短多长？
变式1如图2，在长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的实心长方体上，一只小虫从顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点B处，问：怎样走路线最短？
变式2如图3，主视图是等边三角形的圆锥，底面半径是4 cm，若B点处有一小虫沿圆锥表面爬行，那么它要想吃到母线AC中点P处的食物，需要爬行的最短路程是多少？
学生解答例1后，教师可以引导学生思考：这个问题可以变式吗？由此，从图形变化的角度考虑，得到变式1和变式2。学生解决这组问题之后，教师可以引导学生归纳出解决立体图形中最短距离问题的一般方法。
反思的本质是自我监控，属于元认知范畴。许多研究表明，使用“元认知训练单”是一种有效的学习策略。“元认知训练单”大多是在波利亚“怎样解题表”的基础上修改完善的，通常将解题过程分为审题、拟订解题方案、实际解题和回顾四个阶段，并提出相应的问题引导学生的解题思考。在教学中，可以由教师引导学生使用“元认知训练单”，逐步过渡到学生自己使用“元认知训练单”。
例2如图4，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F。
（1）求证：AB=CF;
（2）当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形？请说明理由。
教师引導学生使用“元认知训练单”解决此题：
在审题阶段自问：（1）这道题涉及你学过的哪些知识？（涉及平行四边形的性质和判定、矩形的判定，可能涉及三角形的全等……）（2）这道题要求你干什么？（证明AB=CF，判断BC与AF的数量关系）（3）证明线段相等时通常使用什么方法？（三角形全等的性质、平行四边形的性质……）（4）这道题的已知条件是什么，未知（要证）结论是什么？（已知平行四边形ABCD和BC的中点E，要证AB=CF）（5）题中有哪些基本图形或添辅助线后能出现哪些基本图形？（有平行四边形ABCD、四边形ABFC，还有很多三角形;感觉暂时不需要添辅助线。）
在拟订解题方案阶段自问：（1）从已知条件可以推出什么？（从平行四边形ABCD可以得到AB∥CD，AB=CD，也就是AB∥CF，就可以得出∠ABE=∠FCE，∠BAE=∠CFE）（2）这样可以证明三角形全等吗？（不行，还要有一条边相等）（3）还有什么条件没用上？（中点……边相等，这样“两个角，一条边”就可以证明△ABE和△FCE全等了）（4）还有其他解题方法吗？（暂时没想到更好的方法）
在实际解题阶段自问：（1）能按拟订的解题方法或策略接近目标吗？（能，因为发现了三角形全等，利用三角形全等的性质就可以得到结果）（2）每一步都能证明是正确的吗？（能，由已知条件和平行四边形的性质推导出角和边相等，再利用三角形全等得到最终结果）
在回顾阶段自问：（1）下次解题有什么地方要特别注意吗？（审题不仔细，差点把中点的条件漏掉，以后要注意充分利用已知条件）（2）可以将这个方法用于解决其他问题吗？（以后再出现证明边或角相等的问题时就可以用这个方法）
（三）注重通性通法的教学
问题是数学的心脏，学习数学离不开解题，因此，讨论数学学习策略绕不开解题策略，即我们常说的解题思想方法。《普通高中数学课程标准（2017年版）》在“学业水平考试与高考命题建议”中强调：“考查内容应……注重数学本质、通性通法，淡化解题技巧。”显然，这是较以往过于注重解题技巧训练的一种突破。所谓通性通法，是指具有一定普遍意义的方法，可用于解决一类问题而不是一个问题的方法。从方法论层面看，通性通法倾向于思想层面而不是具体的方法层面，诸如抽象、归纳、类比、化归等方法均属于通性通法。这些方法不仅可用于解决问题，也可用于发现问题，这是它们与具体解决某个问题的方法技巧的本质不同之处。例如，化归是解决问题的基本方法，解决任何问题都是不断化归的过程，化复杂为简单、化未知为已知、化不熟悉为熟悉，最后实现目标;化归又是发现新概念、新理论的重要思想，解析几何的创立就是化归的一个经典案例，将数对（a，b）与平面上的点建立起一一对应的关系，于是就构建了数与形之间相互转化的桥梁。因此，在新知教学和解题教学中，都应当注重通性通法的训练。
例如，教学等比数列的知识时，可以引导学生类比等差数列的有关知识进行探究，从而体会类比这一通性通法，同时把握等比数列与等差数列的区别。具体包括：（1）概念的类比。由等差数列的概念“从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数”，类比得到等比数列的概念“从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数”——当然还可以得到“等和数列”“等积数列”的概念，但是会发现它们的研究价值不大。（2）中项性质的类比。由等差中项的性质“三个数a、A、b成等差数列A=a+b2=12（a+b）”，类比得到等比中项的性质“三个数a、G、b成等比数列G=±ab=±（ab）12”。（3）通项公式的类比。由推导等差数列通项公式的累加法“an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=a1+（n-1）d”，类比得到推导等比数列通项公式的累乘法“an=anan-1·an-1an-2·…·a2a1·a1=a1qn-1”。
例3（1）设a、b、c为实数，求证：（b-2a+c）2≥3（a-2b+c）（a-c）。
（2）求n∈N，使28+211+2n为完全平方数。
（3）在△ABC中，求证：cos2A+cos2B+cos2C+2cos Acos Bcos C=1。
把这三道看似不相关的题目放在一起，可凸显方程思想这一通性通法的解题运用。对于第（1）题，观察要证明的结论，可发现其结构有点像一元二次方程判别式，于是尝试构造方程（a-2b+c）x2-2（b-2a+c）x+3（a-c）=0：当a-2b+c≠0时，这是一个一元二次方程，易见x=-1是它的一个实数根，所以判别式Δ≥0，所以结论成立;当a-2b+c=0时，显然结论成立。对于第（2）题，要使28+211+2n为完全平方数，可联想解一元二次方程的配方法，设24=x，将原式变为x2+27x+2n，再配方为（x+26）2+2n-（26）2，于是有Δ=2-（26）2=0，得n=12。对于第（3）题，可将cos A看作主元（未知数），构造方程x2+2xcos Bcos C+cos2B+cos2C-1=0，则判别式Δ=4cos2Bcos2C-4（cos2B+cos2C-1）=4（1-cos2B）（1-cos2C）=4sin2Bsin2C，故根x=-cos Bcos C±sin Bsin C=-cos（B±C）。显然，在△ABC中， 有cos A=-cos（B+C），故原式成立。
*本文系喻平教授团队的“数学学习心理学研究及其教学启示”（中学）系列文章之十一。
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