【摘 要】利用旋转思想和对称思想解一道典型题目，培养学生化繁为简的能力.
【关键词】旋转思想;对称思想;数学思想;数学思维
在初中数学中，对称变换和旋转变换是重要的两种几何变换，更是两种重要的思想方法.无论哪一种变换，都有一个重要的性质，就是图形经过变化后，形状、大小都保持不变，即对应边、对应角都相等，变化只是图形的位置，这在解题中是潜在的重要前提，常常用来求解线段长度和面积等问题.比如对称变换第一个典型的应用就是“将军饮马”问题，利用对称变换将折线的距离和转化为两点之间的最短距离问题;旋转变换是把图形的位置进行变换，优化图形结构，进一步整合图形，通过旋转找到解题的突破口，将较为复杂的问题转化为简单问题从而得到顺利解决，逐步培养学生分析问题和解决问题的能力.1 案例分析在近几年来各地市的中考试题中有较多问题需要利用旋转变换进行求解，此类问题较好地考察了学生的思维灵活性及深刻性，具有很好的选拔功能，成为近年来各地中考试题的热点问题，下面这道题就是非常典型的一道.
题目1 （2018淄博）如图1，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（）.
A.9+2534B.9+2532C.18+253D.18+2532
常规解法 因为△ABC为等边三角形，所以BA=BC，
可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连接EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F.如图2，
所以BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，所以△BPE为等边三角形，所以PE=PB=4，∠BPE=60°，
在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，所以可判定△APE为直角三角形，且∠APE=90°，所以∠APB=90°+60°=150°.
所以∠APF=30°，
所以在直角△APF中，AF=12AP=32，PF=32AP=332.
所以在直角△ABF中，AB2=BF2+AF2=4+3322+322=25+123.
则△ABC的面积是34AB2=34·25+123=9+2534.所以选A.
本题的突破点就是将中间的三个三角形中的一个进行旋转，作出旋转后的三角形，然后利用旋转的性质来解决，可是旋转对学生来讲是难点，所以不少学生掌握得不好，也画不出旋转后的三角形，我在教学的过程中发现了解决此类题的另一个办法，就是利用轴对称的思想来解决，做法如下.
解 （对称法）如图3，分别以AB，BC，AC为对称轴作△APB、△BPC、△APC的对称△ADB、△BEC、△AFC，连接DF，DE，EF，因为∠DAF=2∠BAC=120°，且DA=FA=PA=3，所以△ADF是顶角为120°的等腰三角形，所以可求得DF=33，易得S△ADF=934，同理△BDE、△ECF都是顶角为120°的等腰三角形，腰分别是4和5，所以易得DE=43，EF=53，S△BDE=43，S△ECF=2534.
又因为△DEF中，DF=33，DE=43，EF=53，所以△DEF是直角三角形，∠FDE=90°，所以S△DEF=12·33·43=18，而六边形ADBECF的面积就是△ADF、△BDE、△ECF、△DEF的面积之和，也是△ABC面积的两倍，所以S△ABC=12（S△ADF+S△BDE+S△CEF+S△DEF）=12（934+43+2534+18）=9+2534.
这种方法只是利用了轴对称的思想，作出轴对称三角形，对学生来说，远远比作旋转三角形容易，而且思路简单，学生比较容易想到，而且计算方面主要用到了120°等腰三角形的有关计算以及勾股定理的逆定理，相对容易得多.下面再通过一道题目对比一下.
题目2 如图4，Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=60°，点P在△ABC内，且PA=3，PB=5，PC=2，求△ABC的面积.
常规解法 如图5，作△ABQ，使得∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP，则△ABQ∽△ACP.
因为∠ABC=30°所以AB=2AC，
所以△ABQ与△ACP的相似比为2.
所以AQ=2AP=23，BQ=2CP=4，
∠QAP=∠QAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP=∠BAC=60°.
因为AQ∶AP=2∶1，可判断出∠APQ=90°，所以PQ=3AP=3，
所以BP2=25=BQ2+PQ2，所以∠BQP=90°，
过A点作AM∥PQ，延长BQ交AM于点M，
所以AM=PQ，MQ=AP，
所以AB2=AM2+（QM+BQ）2=PQ2+（AP+BQ）2=28+83，
故S△ABC=12AB·AC·sin60°=38AB2=6+732=3+732.
这种做辅助线构造相似三角形的方法，学生比较难想到，所以作图也比较难，思路和过程也对学生的要求较高，特别是判断∠APQ=90°这点对初中生来说有很大的难度.
下面简略说一下判断∠APQ=90°的两种方法.方法一：用高中的知识，就是在△APQ中，由余弦定理PQ2=AQ2+AP2-2AQ·AP·cos∠PAQ，可求得PQ=3，再由勾股定理逆定理判断出直角三角形，從而得出∠APQ=90°.方法二：用初中的知识，那就需要过点Q向直线AP作垂线，构造出含30°角的直角三角形，根据直角三角形中，30°的角对的边是斜边的一半，从而得出∠APQ=90°.这对初中学生来说难度是相当大的.而此题用作对称三角形的方法就容易得多了，下面就用这种方法来解决.
解 （对称法）如图6，分别以AB，BC，AC为对称轴作△APB、△BPC、△APC的对称△ADB、△BEC、△AFC，连接DE、DF，因为∠DAF=2∠BAC=120°，且DA=FA=PA=3，所以△ADF是顶角为120°的等腰三角形，所以DF=3，易得S△ADF=334，同理△BDE可判定是边长为5的等边三角形，易得S△BDE=2534;因为∠BCA=90°，可判断出E，C，F共线，由DF=3，EF=4，DE=5，可得△DEF是直角三角形，且∠DFE=90°，所以S△DEF=6.
而五边形ADBEF的面积就是△ADF、△BDE、△DEF的面积之和，也是△ABC面积的两倍，所以S△ABC=12（S△ADF+S△BDE+S△DEF）=12（334+2534+6）=3+732.2 思考与总结在中考复习中，此类问题会经常遇到，通过上面例题的不同解法，对此类问题进行反思与总结.2.1 领悟对称思想的广泛性与巧妙性
对称不仅仅是一个数学概念，更是一种思想方法，它的应用是非常广泛的，它除了在上述平面幾何问题的应用以外，在数和式等代数问题、立体几何等方面都有广泛的应用.利用对称的思想去分析和解决问题，通常可以将不规则的图形转化为规则图形，将很难求解的问题转化为容易求解的问题，而且使解题思路简单，作图简单，还能回避繁杂的运算，巧妙地解决了问题，达到出奇制胜的效果，提高解题的速度和准确率[1].2.2 体会数学思想的重要性
老师在平时的课堂教学及课后习题设置中，要时时处处注意数学思想方法的渗透，这样学生才会有扎实的数学思想基础，对所有的数学思想方法熟记于心并能信手拈来.比如上面问题就是先用对称思想，作出对称图形，然后用转化思想，将复杂问题转化为一个简单问题.对于常用的数学思想（如数形结合思想、分类讨论思想、建模思想、类比思想等）在平时的教学中我们要引导学生多分析，多尝试，多类比，多总结，不断碰撞出学生运用数学思想的火花，形成数学知识和思想方法的和谐统一，提高熟练运用数学思想解题的能力.2.3 培养数学思维的灵活性
解数学题的灵魂就是灵活合理变化，在变化中常会拓展出解题所需要的一片新天地.在平时的习题训练中，老师不要被思维定势所限制，要经常设置一些思想方法灵活多变、一题多解的题目，让学生在独立练习中体会巧妙解法的重要性;如果遇到复杂、没有思路的题目的时候，要快速地改变思维方式，不断进行大胆尝试，使学生真正体会到数学思维的灵活性所带来的乐趣，激发学生学习数学的潜能.这样不仅能提高学生分析问题、思考问题的能力，提高灵活的化复杂问题为简单问题的能力，还能培养学生的创新能力，并从中感受到数学的无穷魅力.
参考文献
[1]方志平.例析对称思想在数学解题中的妙用[J].中学数学杂志，2021（11）：36-39.
作者简介 李荣（1974—），女，山东东营人，中学一级教师;主要研究数学解题和教法.
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