王丽
[摘 要] 探究式教学法能有效地培养学生的发散思维，促进学生创新意识与能力的形成，为学生数学思想与科学素养的形成奠定基础.研究者以“全等三角形”的教学为例，提出“SAS”的全等三角形拓展问题“SSA”，并以此作为开展探究式教学的主题，分别从作图——感知不同情形，探索——找出全等条件，应用——解决实际问题三方面展开阐述.
[关键词] 探究式教学;数学教学;全等三角形
随着新课改的推进，广大教育工作者开始重视探究式教学法的应用.调查发现，教师虽然在思想上重视这种教学方法，但在实际应用时却比较生疏，有时因掌握不好给学生的思考时间，而导致探究的失败.
实践证明，想要科学、合理地在初中数学教学中开展探究式教学，首先必须了解学情，根据学生的实际认知情况开展示范性的教学，引导学生掌握相应的学习策略与方法，获得主动探究的能力[1]. 本文以“SAS”的全等三角形拓展教学为例，具体谈谈如何在课堂教学中灵活应用探究式教学法来拓展学生的思维.
提出问题
学完“探索三角形全等的条件”这一章节后，学生已经掌握了两个三角形全等的判定方法，在对于“SAS”的判定方法中，遇到对应相等的角不是两等边夹角（SSA）的情况，该如何判定这两个三角形是否全等的问题产生了思考. 通常情况下，教师会应用反例法来证明这个结论成立与否. 但是，学生常渴望从更深层次去理解“SSA”. 为此，笔者以探索“SSA判定两个三角形全等的条件”展开教学设计与探究.
教学目标
1. 作图，感知两个三角形满足“SSA”条件的不同情形.
2. 探究用“SSA”法判定两三角形为全等关系的条件过程，形成良好的分类思想.
教学设计与意图分析
（一）作图——感知不同情形
问题1：通过之前的学习，我们都知道用“SAS”来判定两个三角形全等，其中“A”的位置必须位于两个“S”的中间，也就是两条边的夹角. 当“A”的位置不是两条对应边的夹角时，也就是在“SSA”的情况下，不一定能证明这两个三角形是全等关系. 现在我们就探讨两个三角形在“SSA”的情况下，满足什么条件可证得它们是全等的？若此“A”为直角，是否可证得这两个三角形全等？为什么？（学生回顾旧知）
问题2：按照以下条件作一个△ABC：AB=4 cm，AC=3 cm，∠B=40°. 观察自己所作的三角形与其他学生所作的三角形是否一样. （先作图，后交流）
问题3：作一个△ABC，条件为：AB=2 cm，AC=4 cm，∠B=120°. 观察自己所作的三角形与其他学生所作的三角形是否一样. （先作图，后交流）
问题4：通过以上两次作图的观察与交流，你们发现所作三角形在满足“SSA”条件时，会出现哪些不同的情形呢？（交流）
设计意图 学生从自身已有的经验出发（“HL”全等），在作图后对比、交流中基本获得满足“SSA”条件的两三角形存在哪些不同情形. 学生的思维经历了从特殊到一般的过程，获得了相应的分析问题的方法与分类讨论思想.
问题1的提出是建立在学生对“HL”是“SSA”的特例基础上，让学生由∠B的特殊情况（直角）向一般情况（锐角或钝角）拓展，使得学生将研究“SSA”的问題转化为分类研究∠B的情况.
问题2、3，学生通过自主作图，不仅掌握了如何利用圆规作出满足相关条件的三角形，还在对图形的对比和交流中获得了以下结论：若∠B为锐角，能画出不一样的三角形;若∠B为钝角，所画出来的三角形都是一样的（全等）. 教师在引导过程中，针对问题2，可让学生将不全等的三角形按照顺序重叠在一起，以感知两个三角形满足“SSA”条件，是不全等关系的反例.
问题4的提出是让学生感知若∠B为直角或钝角时，满足“SSA”条件的两个三角形是全等的关系. 并根据以上几问总结出：当∠B为锐角时，满足“SSA”条件的两个三角形不一定全等，因此用“SSA”的条件来判断两个三角形全等具有不确定性.
（二）探索——找出全等条件
问题5：如图1，△ABC与△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，且∠B=∠B′（大于90°），求证：△ABC≌△A′B′C′. （先做题，后交流）
问题6：△ABC与△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，且∠B=∠B′（小于90°），判断△ABC与△A′B′C′是否全等？（独立思考做题）
问题7：△ABC与△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，∠B=∠B′（小于90°），AB
问题8：△ABC与△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，∠B=∠B′（小于90°），AB>AC，判断△ABC与△A′B′C′是否全等？（思考、做题后交流）
问题9：结合以上集体的解题过程，思考△ABC与△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，∠B=∠B′（小于90°），在什么情况下可以判断△ABC与△A′B′C′是全等的关系？什么情况下这两个三角形是不全等的关系？
教师以几何画板来演示图形的变化过程，让学生在直观中感知图形之间的关系，在独立思考的基础上再进行分组讨论.
设计意图 在此探索环节，首先引导学生对∠B=∠B′（大于90°）的情形进行分析，再着重分析∠B为锐角时的情况，让学生经历从特殊到一般的数学分类思想的应用与研究，从而归纳总结出多种类别中所存在的共性条件，获得本题研究问题的结论，即满足“SSA”条件的两个三角形是全等关系的情况.
问题5，分别过点A与A′作AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，点D，D′分别为两个垂足. 如图2，通过△ABD≌A′B′D′（用“AAS”法）可证得AD=A′D′. 再通过HL法证得△ACD≌A′C′D′，由此可推导出∠C=∠C′，据此可证明△ABC≌△A′B′C′. 此过程是对学生猜想的论证，符合几何应遵循的周密性原则.AB35040E-6393-4E15-8594-3F54D756C8B4
问题6是基于对第一个教学环节所获得的猜想的论证，即∠B为锐角的情况下，两个三角形不一定是全等关系. 根据从特殊到一般的情况分析，将条件中提到的AB=AC的条件逐渐转化为ABAC）的情况，并加以分析. 显然，如图3所示，在AB=AC的情况下，△ABC≌△A′B′C′.
探索过程中，学生发现可将点C视为∠B的一边（顶点B除外）和☉A（圆心为点A，半径为AB的圆）的交点，由此可看出点C具有唯一性，也就是说以此画出的三角形是唯一的. 因此，我们可以判断，满足问题2这个条件的两个三角形为全等的关系，也就是将三角形全等的问题转变成☉A与射线BC（点B不含）所获得的公共点的个数问题的探索.
问题7和8的探讨，如图4，①在AB
如图5，问题9以几何画板来演示前几个问题的作图流程，让学生在直观中看到∠B的变化情况与线段AB，AC的长度，深化学生对问题2、3、4的理解. 最后将∠B逐渐转化成特殊的直角或钝角来分析，学生通过画图与理解，不但自主地获得了分类条件，还总结出以下结论：在△ABC与△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，∠B=∠B′，当AB≤AC或AC=AB·sinB时，△ABC≌△A′B′C′.
（三）应用——解决实际问题
问题10：如图6，已知点P为∠AOB角平分线上的一点，且点C，D分别位于OA，OB的边上，CP=DP，请从图中找出等于∠PCA的角，并说明理由.
问题11：如图7，四边形ABCD为☉O的内接四边形，已知AB=3，AD=5，∠BAD=60°，弧BD的中点恰巧为点C，求AC的长度.
设计意图 让学生将所学知识灵活地应用到实际解题中，并在解题过程中感知数学的转化思想. 问题11需先構造直角三角形，然后以“HL”论证，强化学生解决“SSA”类问题的能力，达到融会贯通的目的.
教学思考
（一）关注教学内容的深度探究
新课标提出：教学中，教师应挖掘教学内容中与发展学生各项能力相关的教学价值[2]. 本节课，笔者是基于学生在课堂中遇到的问题所展开的教学活动，在教师的引导下，学生对“SSA”这个内容展开了深度探究.
探究中，基于学生原有的认知经验，教师利用一切手段拓展学生的视野. 在问题串的引领下，学生对教学内容逐步分析、思考，并及时与同伴交流解决问题的办法等. 这为学生获得分析问题的经验与能力，开阔视野、提升思维，形成良好的数学核心素养奠定了坚实的基础.
（二）注重批判性思维的培养
批判性思维是一种重要的思维品质，是创新意识形成与发展的前提[3]. 华罗庚曾经说过：我们要学习前辈的经验，但不要拘泥于这种经验中，我们完全有理由怀疑前人的成果. 本节课，对于两个三角形满足“SSA”的条件，不少学生从几何直观的角度来看，常会误认为两个三角形一定是全等的关系.
随着本节课的探究，成功地推翻了学生的这种认知，让学生清楚地明白“SSA”的条件并不能作为判断两三角形全等的依据.
总之，探究式教学是新课标所倡导的基本教学方式之一. 作为教师，应立足于课堂，采取问题引领的教学手段，引导学生积极探索问题，以形成良好的数学思想与思维品质，为数学核心素养的形成奠定基础.
参考文献：
[1]涂荣豹. 数学教学认识论[M]. 南京：南京师范大学出版社，2003.
[2]中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.
[3]布鲁纳. 教学过程[M]. 上海：上海人民出版社，1973.AB35040E-6393-4E15-8594-3F54D756C8B4
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