02届,普通高等学校招生全国统一考试数学（新课程卷）理（附解答）

2002年普通高等学校招生全国统一考试（新课程卷） 数学（理工农医） 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．曲线上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．复数的值是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3．已知为异面直线，，，，则 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 4．不等式的解集是（　　） 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 5．在内，使成立的取值范围为（　　） 　　　　　　　　　 　　 6．设集合，则（　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 7．正六棱柱底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线与所成的角是（　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8．函数是单调函数的充要条件是（　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　 9．已知，则有（　　） 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 10．平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，若点满足，其中有且，则点的轨迹方程为( ) 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 11．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（　　） 　　　　　　　　　　　　　　 12．据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”如果“十·五”期间(2001年—2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为( ) 　　亿元　 亿元　 亿元　 亿元 二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．函数 图象与其反函数图象的交点坐标为▁▁▁▁▁　　　　　 14．椭圆 的一个焦点是 ，那么▁▁▁▁▁▁ 15．直线与曲线所围成的图形绕X轴旋转一周而成的旋转体的体积等于▁▁▁▁▁▁ 16．已知函数，那么▁▁▁▁▁▁ 三．解答题（本大题共6小题，共74分） 17．（本题满分12分）已知求的值 18．注意：考生在以下（甲）、（乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（甲）计分 （甲）如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为 （1）建立适当的坐标系，并写出点的坐标；

（2）求与侧面所成的角 （乙）如图，正方形的边长都是1，而且平面互相垂直点在上移动，点在上移动，若 （1）求的长；

（2）当为何值时， 的长最小；

（3）当长最小时，求面与面所成的二面角的大小 19．（本题满分12分）某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）， （1）求至少3人同时上网的概率；

（2）至少几人同时上网的概率小于0.3？ 20．（本题满分12分）已知，函数设，记曲线在点处的切线为 （1）求的方程；

（2）设与轴交点为证明：
（ⅰ）；
　　　　　（ⅱ）若则 21、（本题满分12分）已知两点，且点使，， 成公差小于零的等差数列 （1）点P的轨迹是什么曲线？ （2）若点P坐标为，记为与的夹角，求 22、（本题满分14分）已知是由非负整数组成的数列，满足，，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)求；

(2)证明；

(3)求的通项公式及其前项和 2002年普通高等学校招生全国统一考试（新课程卷） 数学（文史类） 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.若直线与圆相切，则的值为 　　　　　　　　　　　　　　　　　 2.已知为异面直线，，，，则 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 3.不等式的解集是（　　） 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 4.函数在上的最大值与最小值的和为3，则的值为（　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5.在内，使成立的取值范围为（　　） 　　　　　　　　　 　　 6.设集合，则（　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 7.椭圆的一个焦点是，那么（　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8.正六棱柱底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线与所成的角是（　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 9．函数是单调函数的充要条件是（　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　 10．已知，则有（　　） 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 11．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（　　） 　　　　　　　　　　　　　　 12．平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，若点满足，其中有且，则点的轨迹方程为( ) 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．据新华社2002年3月12日电， 1985年到2000年间，我国农村人均居住面积 如图所示，其中，从▁▁▁▁年到▁▁▁▁年 的五年间增长最快 14．已知， 则 ▁▁▁▁▁▁ 15．甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm2 ）: 其中产量比较稳定的小麦品种是▁▁▁▁▁▁（复查至此） 16．设函数在内有定义，下列函数 ；
　　　　　　　　　　　　　 ；
　　　 ；
　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 中必为奇函数的有▁▁▁▁▁▁（要求填写正确答案的序号） 三．解答题（本大题共6小题，共74分） 17．（本题满分12分）在等比数列中，已知，求前8项的和 18．（本题满分12分）已知，求的值 19．（本题满分12分）（注意：考生在以下（甲）、（乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以下（甲）计分） （甲）如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为 （1）建立适当的坐标系，并写出点的坐标；

（2）求与侧面所成的角 （乙）如图，正方形的边长都是1，而且平面互相垂直点在上移动，点在上移动，若 （1）求的长；

（2）当为何值时， 的长最小；

（3）当长最小时，求面与面所成的二面角的大小 20．（本题满分12分） 某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）， （1）求至少3人同时上网的概率；

（2）至少几人同时上网的概率小于0.3？ 21．（本题满分12分）已知，函数，设，记曲线在点处的切线为 （1）求的方程；

（2）设与轴交点为证明：
（ⅰ）；
　　　　　（ⅱ）若则 22．（本题满分14分）已知两点，且点使，，成公差小于零的等差数列 （1）点P的轨迹是什么曲线？ （2）若点P坐标为，记为与的夹角，求 2002年普通高等学校招生全国统一考试新课程数学试题答案（文理） 参考答案 一、1、D　　2、（文）B，（理）C　　　3、（文）D，（理）B　　　4、（文）B，（理）D 5、C　　6、B　　　7、B　　　　 8、（文）B，（理）A　　　9、（文）A，（理）D 10、D 11、B 12、（文）D，（理）C 二、填空题 13、（文）1995，2000；
（理）（0,0），（1,1）；
　　　　14、（文），（理）－1；

15、（文）甲种，（理）；
　　　　　　　　　　16、（文）（2），（4），（理）；

三、解答题 17、（文）设数列的公比为，依题意， 　　　　　 （理） 从而， 18、（文）由倍角公式及原式得 　　，即 　，也即 ， ，即， （理）（甲）（1）如图，以点为坐标原点，以所成直线为轴，以所在直线为轴，以经过原点且与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系 由已知得，，， （2）坐标系如上，取的中点，于是有，连，有 ，且，， 由，，所以，面， ∴与所成的角就是与侧面所成的角 ∵，， ∴， ，， ∴， 所以，与所成的角，即与侧面所成的角为 （乙）（1）作∥交于点，∥交于点，连结，依题意可得 ∥，且，即是平行四边形 ∴ 由已知， ∴ 又，，即 ∴ （Ⅱ）由（Ⅰ）， 所以，当时， 即、分别移动到、的中点时，的长最小，最小值为 （Ⅲ）取的中点，连结、， ∵，，为的中点 ∴⊥，⊥，∠ 即为二面角的平面角 又，所以，由余弦定理有 故所求二面角 19．（理）（1）至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率， 即 （2）至少4人同时上网的概率为 ， 至少5人同时上网的概率为 ， 因此，至少5人同时上网的概率小于 20．（理）（1）的导数，由此得切线的方程 ， （2）依题得，切线方程中令，得 ，其中， （ⅰ）由，，有，及， ∴，当且仅当时， （ⅱ）当时，，因此，，且由（ⅰ），， 所以 21（文科）（1）的导数，由此得切线的方程 ， （2）依题意，在切线方程中令，得， （ⅰ）， ∴，当且仅当时取等成立 （ⅱ）若，则，，且由（ⅰ）， 所以 （理科）（1）记，由，得 ，，， ∴，，， 因，，是公差小于零的等差数列， 即（）， 所以，点的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆 （2）点的坐标为，则， ， ∵ ， ∴， ∵，∴，， ， 22．（理科）（1）由题设得，且、均为非负整数，所以的可能的值为1，2，5，10 若，则，，与题设矛盾， 若，则，，与题设矛盾， 若，则，，，与题设矛盾， 所以 （2）用数学归纳法证明 （i）当，，等式成立 （ii）假设当（）时等式成立，即， 由题设， ∵，∴， 也就是说，当时，等式成立 根据（i）和（ii），对于所有，有 （3）由，及，， 得，， 即， 所以

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